성돌의 전자노트

Gerris를 Windows10에 설치하기

성돌 — Wed, 30 May 2018 12:47:08 +0900

Windows에 엄청난 기능이 추가되었다는 것을 알게되었다.

바로 리눅스를 Windows10에서 사용할 수 있는 것으로, 우분투를 사용할 수 있다.
이를 WSL (Windows Subsystem for Linux) 이라 한다.

이는 예전에 잘 되지 않던 가상머신과는 본질적인 차이가 있다.

이 WSL설치부터 우분투 설치까지 링크를 참고하자.

이렇게 우분투를 WIndows에 설치하면 다 좋은데,
GUI기반의 프로그램을 사용할 수 없다는 단점이 존재한다.

이게 없다면 gedit이나 gfsview를 사용할 때 완전히 골치아파진다...

나도 이것 때문에 애를 많이 먹다가 링크를 따라서 이를 완전히는 아니더라도....
중요한 문제들은 해결할 수 있었다.

꼭 따라서 하도록 하자.

이제는 딱히 어려운 점이 없으며,
이전에 내가 올려둔 Gerris설치 방법을 따라서 설치할 수 있다.

변형 텐서(deformation tensor)와 strain tensor에 대한 개념적 설명

성돌 — Tue, 12 Apr 2016 08:30:39 +0900

코시-그린 변형 텐서 (Cauchy–Green deformation tensor)에 대해서 알아볼텐데요.
이 포스팅은 저번에 설명하던 변형 구배 텐서에 이어지는 설명입니다.
여기에 적힌 내용들을 보기전에 이전 포스팅을 꼭 보고 오세요.

앞서 말씀드린대로,
우리는 일반적으로 물체의 순수 회전에는 보통 관심을 주지 않습니다.

그래서 사람들은 물체의 회전의 정보가 배제된 변형텐서를 생각했는데요.
(회전텐서의 역행렬이 전치행렬이라는 특성을 사용하여, R^T•R=R•R^T=I)

이것이 아래의 그린 변형 텐서(Green's deformation tensor), C 또는 C_AB,입니다.

그리고 변형 텐서라는 이름이 의미하듯, 이 텐서량은 변형에 대한 정보를 담고 있습니다.

대표적으로 이전 포스팅에서 설명한 right stretch tensor U는 아래와 같이 C의 제곱근입니다.

근데 행렬의 제곱근을 구하는게 쉽지 않죠?

그렇지만 주응력 방향에서는 행렬이 대각화되기에 제곱근을 쉽게 구할 수 있습니다.
주응력방향에서 U와 C를 각각 U*와 C*라 한다면 아래와 같이 쉽게 제곱근을 찾을 수 있습니다.

그리고 역학을 할 때 매우 중요한 strain tensor, E,가 아래와 라그랑지 관점으로 같이
그린 변형 텐서로부터 구해질 수 있습니다.

이 E를 Lagrangian strain tensor라고 하는데, 이는 이 텐서가 초기좌표의 함수이기 때문입니다.
Lagrangian strain tensor를 아래와 같이 변위(displacement), u,에 의해서 기술됩니다.

여기서 u는 mapping함수 f에 의해서 초기좌표로 아래와 같이 기술된 변위입니다.

지금까지 한 내용을 모두 오일러 관점으로도 기술할 수 있는데,
이는 좌표평면에 고정된 좌표로 물체의 운동을 기술하는 것 입니다.

그러나 고체역학에서는 물체가 변형 후 더 이상 움직이지 않으므로,
좌표 평면에 고정된 좌표를 변형된 좌표와 동일하게 취급합니다.

다시 말해, 이 경우에 좌표 평면에 고정된 오일러 좌표와 변형 후 좌표 x를 동일시 하겠습니다.
어짜피 물체는 더 이상 움직이지 않으니까요.

먼저 변형 텐서를 오일러 좌표로 기술할 수 있고,
이를 코시 변형 텐서(Cauchy deformation tensor), c,라고 합니다.

그리고 이번엔 Eulerian strain tensor, e,가 아래와 같이 구해집니다.

이 역시 이번엔 오일러 좌표로 기술된 변위에 의해
(여기서 f ^-1는 mapping함수 f의 역함수)

e를 오일러 좌표로 변위를 이용해서 아래와 같이 기술할 수 있습니다.

그리고 보통 고체역학에서 작은 변형만을 다루기에
변위의 구배가 곱해진 마지막 항은 대부분 그 값이 상대적으로 작습니다.

즉, strain tensor에서 마지막 항들을 없애버리면
위 식의 비선형 항이 없어지게 되고 선형항만 남게 됩니다.

즉, 식이 선형화된 것이죠.
이와같이 선형화된 Lagragian strain tensor는 아래와 같습니다.

마찬가지로 Eulerian strain tensor는 아래와 같습니다.

변형 구배 텐서(deformation gradient tensor)에 대한 개념적 설명

성돌 — Tue, 12 Apr 2016 06:44:44 +0900

여기에서는 변형 구배(deformation gradient)에 대해서 다뤄보도록 하겠습니다.
아래와 같은 물체의 변형에 대해서 고려해봅시다.

[Mase, G. Thomas, et al., Continuum mechanics for engineers. CRC press, 2009.]

이 변형에 대해서 생각할 때 라그랑지 관점으로 논지를 전개해 나갈 것인데,
이 관점이 익숙치 않은 분들은 이전 포스팅을 참고하도록 합시다.

여기서 Î의 기저벡터를 사용하고 있는 X좌표는 물체의 초기위치를 기술합니다.
그리고 ê의 기저벡터를 사용하고 있는 x좌표는 물체의 변형 후 위치를 기술합니다.

그리고 이전 포스팅에서 말한 바와 같이 변형 후 x좌표는 어떤 mapping 함수 f에 의해서
시간과 변형 전 좌표 X좌표에 의해서 아래와 같이 기술됩니다.

그리고 보통 고체역학에서는 시간에 따른 변화를 다루지 않고,
변형 전과 변형 후만을 비교하지요?

이런 경우에는 아래와 같이 더 단순한 형태로 표기할 수 있을겁니다.

이 mapping함수 f를 시각적으로 설명을 하자면,
위 그림에서 물체위치 P를 p로 옮겨주고 Q를 q를 옮겨주는 수학적 함수식이 f입니다.
예를 들어 아래와 같이 표현할 수 있겠네요.

이렇게 초기 위치를 기준으로 변형 후 위치를 기술하는 방법을
라그랑지 좌표 기술 방법이라고 합니다.

그리고 한 가지 더 수학적으로 중요한 점을 하나 짚고 가겠습니다.

물리적으로 mapping함수 f는 물체의 위치를 일대일 대응을 시켜주어야 겠죠?
이를 위해서는 아래의 야코비 행렬식(Jacobian determinant)이 0이 되면 안 된다는 조건이 있습니다.

본론으로 돌아와서, 중요한 것은 변형 후 위치가 초기 위치의 함수라는 점입니다.

즉, 아래와 같이 변형 후 위치를 변형 전 위치로 미분하는 것이 가능하고,
이를 변형 구배 텐서(deformation gradient tensor)라고 하고
F, F_iA또는 x_i,A로 표기합니다.

위에서 벡터는 굵은 글씨로 표기하였고,
첨자 i와 A는 변형 후와 전을 쉽게 구분하기위하여 각각 소문자와 대문자로 구분하여 적었습니다.

그리고 x_i,A에서 ,이후에 첨자를 적는 것은 미분을 하는 것을 의미합니다.

이 변형 구배 텐서는 물체의 변형을 이해하는 데 매우 중요합니다.
아래의 연쇄법칙(chain rule)에서 보이듯이

변형 전 물체의 미분 조각 벡터(dX)를 변형 후 물체의 미분 조각 벡터(dx)로 바꿔주는 역할
을 하는 것이 변형 구배 텐서의 역할입니다.

여기서 이 미분 조각이 벡터라고 함은 이 미분 조각이 크기 뿐 아니라 방향에 대한 정보도
가지고 있다는 걸 의미합니다.

아래 그림과 같은 물체의 변형을 생각해봅시다.

[Image from wikipedia]

변형 구배 텐서 F는 위 그림에 보이는 것처럼 물체를 변형 전 모양에서
변형 후 모습으로 바꾸어주는 역할을 합니다.

그리고 이 변형 구배 텐서는 아래의 식에서 보이는 것처럼 분리할(polar decomposition) 수 있는데요.

여기서 U, V, R의 물리적 의미는 위 그림에 잘 나타나있습니다.

R은 회전 텐서(rotation tensor)로써 물체를 순수하게 회전시키는 행렬이고,

U, V는 둘 다 물체가 인장되고 수축되는 것(stretch)과 관련한 stretch tensor인데
U는 그림에서 보이 듯 연산 순서에 따라서 먼저 stretch시키고 나중에 회전시키는 텐서로
식에서의 위치에 의해서 right stretch tensor라 불리고,
V는 먼저 회전시키고 나중에 stretch시키는 텐서로 left stretch tensor라 불립니다.

그런데 물체의 순수 회전은 물체 내부에 변형이나 파괴를 초래하지 않기에,
변형의 관점에서 중요한 정보는 U, V텐서이고 이 텐서들은
물체가 얼마나 늘어나고 줄어들었는지에 대한 정보를 담고있죠.

이 텐서들의 고유값(eigenvalue)들은 주 응력방향에서 나타난 stretch에 대한 정보를 가지고 있습니다.

(다른 포스팅 참고)

따라서 U텐서나 V텐서나 주 응력방향에서의 stretch에 대한 정보는 같을테니
서로 고유값이 당연히 동일한 특성을 가지고 있습니다.

물론, 먼저 회전시키고 나중에 회전시키는 차이때문에
주 응력이 작용하는 면에 대한 정보가 서로 달라서 고유벡터(eigenvector)는 서로 다릅니다.

물론, 물체의 회전이 없었다면 이 고유벡터도 당연히 서로 같겠죠.

포스팅이 너무 길어져서,
다음 포스팅에 변형 텐서에 대한 내용을 이어서 설명하도록 하겠습니다.

주 응력이란? (principal stress)

성돌 — Mon, 11 Apr 2016 06:32:49 +0900

주 응력(principal stress)에 대해서 이해해보도록 합시다.
응력에 대해서는 이전 포스팅에서 자세하게 설명해 두었습니다.

응력은 앞서 말한 바와 같이 응력텐서가 대칭이기에
6개의 응력성분으로 아래의 응력텐서로 기술이 될 수 있습니다.

그런데 이 응력텐서의 응력성분은 좌표축을 회전시킴에 따라
무한히 바뀔 수밖에 없습니다.

그래서 우리는 무언가 특징적으로 대표적인 응력 성분을 이 응력텐서로부터 구하고 싶은데요.
이게 바로 주 응력(principal stress)입니다.

더 쉽게 말해서 최대 수직 응력을 구하고자 하는 거죠.

n방향에 수직인 면에 작용하는 응력벡터는 아래와 같이 구한다고 말씀드렸습니다.

여기서 n은 단위 방향 벡터입니다.

일반적인 경우에 이 응력벡터의 방향이 n방향과 같을 이유는 없습니다.
그런데 이 응력벡터의 방향이 n방향과 같게되는 경우가 딱 3경우가 아래처럼 존재하게 됩니다.

[Image from manual.midasuser.com]

이 경우에는 응력방향의 방향이 면의 수직방향이니,
이는 이 면에는 수직응력만이 존재하고 전단응력은 존재하지 않는다는 것을 의미합니다.

즉, 수직응력만이 존재하는 면이 3군데 존재한다고 할 수 있겠군요.

그리고 이런 조건을 아래와 같이 수식으로 표현할 수 있습니다.

위에서 σ는 상수입니다.

그런데 위 식에서 응력텐서가 대칭이기에 왼쪽항의 내적순서를 아래와 같이 바꾸어줄 수 있습니다.

이건 indicial notation으로 수식을 바라보면 더 명확해지는데요.
첫번째 식을 indicial notation으로 표현하면 아래와 같이 됩니다.

그런데 대칭조건에 의해서 T_ij=T_ji이기에 아래와 같이 됩니다.

이제 이 문제는 우리가 공업수학에서 배웠던 단순한 고유값문제(eigenvalue problem)이 됩니다.
즉, 이러한 방향 n가 존재하기 위해서는 아래의 수식이 성립해야하고,

배웠듯 이 식을 만족시키는 σ는 3개 존재할 것입니다.

보통 이 중에서 양의 방향으로 최대값을 σ₁이라하고, 최소값을 σ₃이라 합니다.

물론 아직까지는 양의 방향으로 응력의 최대값이 σ₁이라고 이야기할 수 없습니다.

σ₁이 양의 숫자 (인장 응력)인데 σ₃이 음의 숫자 (압축 응력)인 상황에서
σ₃의 절대값이 σ₁보다 클 수도 있는 것이고,

모어의 응력원을 그림으로 찾을 수 있는 최대 전단응력이
이러한 수직응력들보다 클 수도 있습니다.

이 들에 대해서는 모어의 응력원에 대해서 배우면 더 명확해 질 것입니다.

곡선 좌표계에서 텐서의 변환 법칙에 대한 이해 (transformation law)

성돌 — Mon, 11 Apr 2016 02:24:34 +0900

저번 포스팅에 직교좌표계에서의 좌표변환에 다뤘던 것에서 더 나아가서
원기둥이나 구면좌표계와 같은 더 일반적인 곡선 좌표계(curvilinear coordinate system)에서의
좌표변환에 대해서 이야기해봅시다.

직교좌표계(Cartesian coordinate system)도 엄밀히 말하자면,
곡선좌표계 중 하나지만 가장 단순한 경우이기에 예외로 둘 수 있을 것입니다.

원기둥 좌표계와 구면좌표계는 직교좌표계와는 달리 좌표축이 고정되어 있지않고 휘어있죠.
그러나 여전히 좌표축들끼리 서로 직교(orthogonal)하기에 아직은 엄청 어려운 좌표계는 아닙니다.

저도 제 전공이 아니라, 직교하지 않는 좌표계까지는 지식을 가지고 있지 않습니다.

아무튼 이러한 직교하는 곡선좌표계의 좌표변환까지만 이해를 잘 해도,
텐서를 이해하는 데에 훨씬 수월해질 것입니다.

우선 구면좌표계에서 직교좌표계로의 변환을 생각해봅시다.

아! 하나 먼저 말해둘 것이 있다면,
곡선좌표계를 다루더라도 직교좌표계로의 변환은 계속 등장할 것 입니다.

왜냐면 직교좌표계가 이해하기에 가장 쉽고 기준이 되는 좌표계이기 때문입니다.

직교좌표계는 구면좌표계를 통해 아래와 같이 기술될 수 있습니다.

[Image from wikipe dia]

그런데 이 좌표변환은 선형변환이 아니기에...
앞서 직교좌표계에서 한 것처럼 아래와 같은 행렬 변환은 만들 수 없습니다.

대신 아래와 같이 미분량이 되면 가능해집니다.

즉, 미분량에 대해 아래와 같이 좌표변환을 정의할 수 있습니다.

그리고 직교좌표계에서 성립했었던 특성 중 하나는
아래와 같이 더이상 성립하지 않게 됩니다.

그리고 더 이상 좌표변환행렬은 단순한 회전행렬이 아니게 됩니다.

반변(contravariant)과 공변(covariant)변환에 대한 자세한 설명은
다른 포스팅을 참고하시구요.

이런 곡선좌표계에서 반변 벡터 성분의 반변적 변환은 아래와 같습니다.

이번엔 공변 벡터 성분은 아래와 같이 공변적으로 변환합니다.

앞 서 반변과 공변 변환을 설명한 포스팅에서 이미 많은 걸 설명해버렸기에
여기서는 특별히 더 이상 설명할 것이 없네요...

암튼, 직교좌표계와 곡선좌표계의 차이를 잘 알아두시는 것이
중요하리라 생각됩니다.

공변(covariant)와 반변(contravariant) 변환에 대한 이해

성돌 — Mon, 11 Apr 2016 01:57:44 +0900

공변(covariant)과 반변(contravariant)에 대한 논의가 되면 상당히 이해하기 어려운 글들이 많습니다.

여기서는 최대한 이해하기 쉽게 설명해보도록 노력해보도록 하겠습니다.

벡터를 직교 좌표계가 (Cartesian coordinate)아닌
새로운 임의의 좌표계에서 표현할 필요가 있다고 합시다.
직교좌표계에서는 공변성분과 반변성분이 같기에 논의할 필요자체가 없어지기 때문입니다.

예를 들어 아래의 비스듬한 좌표계를 고려해보죠.

이 좌표계에서의 좌표축 방향인 X 1과 X 2를 이용해서 벡터를 표현하는 방법은

아래 그림과 같이 평행사변형을 만드는 방법밖에 없겠죠.

자, 기저 벡터들을 자세히 살펴보시죠, e1와 e2를 보세요

이 기저벡터들은 좌표축의 방향으로 있습니다.

그래서 이 기저들을 tangent basis vector라고 부르도록 하겠습니다.
그래서 이 tangent basis vector들에 대해서 첨자의 위치가 밑첨자임을 주목해주세요.
그리고 우리가 일반적으로 basis vector라고 부를 땐,
이 녀석을 지칭하는 것입니다.

공변과 반변에 대한 논의에서 밑첨자는 이것이 좌표변환을 할 때
공변적으로(covariantly) 변환된다는 것을 의미합니다.

그렇다면 좌표변환을 한번 해보죠.
가장 쉬운 좌표계인 직교좌표계에서 지금 다루는 비스듬한 좌표계로 좌표변환을 하는 경우를 생각해봅시다.

아래의 (Z 1, Z 2)의 직교좌표계를 생각해봅시다.

그리고 이 직교좌표축으로 평행한 tangent basis vector들을 ε1와 ε2라고 합시다.

이 때 이 직교좌표계에서 비스듬한 좌표계로 tangent 기저벡터의 변환은
아래와 같이 수식으로 표현됩니다.

여기서 한 가지 유용한 팁을 드리자면,
좌표변환행렬인 ∂Zk/∂Xi에서 새로운 좌표계인 X가 분모에 위치한 점을 주목해주세요.

아까 tangent 기저벡터의 밑첨자는 이것이 공변적으로 변화한다는 걸 의미한다고 말씀드렸죠?

이렇게 분모에 새로운 좌표계를 넣는 좌표변환행렬을 곱해서 새로운 좌표시스템으로
변환하는 것을 공변적으로 변환(covariant transformation)한다고 합니다.

자, 이번엔 벡터 성분들인 X1과 X2를 보세요.
첨자가 위에 있죠?
이 윗첨자는 이 것들이 반변적으로 변환한다는 것을 의미합니다.

(Z 1, Z 2)의 직교좌표계에서 (X 1, X 2)의 비스듬한 좌표계의
벡터성분의 변환은 아래와 같습니다.

이번엔 좌표변환행렬(∂Xi/∂Zk)에서 새로운 좌표계인 X가 분자에 위치했죠?
이런 좌표변환을 사용해서 새로운 좌표시스템으로 변환하는 것을
반변적 변환(contravariant transformation)이라고 합니다.

반변적이라고 하는 것은 반대로 변한다고 하는 의미인데,
이 벡터 성분이 아까 말씀드렸던 tangent 기저벡터가 변하는 방법과 반대로 변환하기에
이런 이름을 붙인 겁니다.

tangent 기저벡터가 변하는 방법과 같은 방법으로 변환하는 것을
공변 변환이라고 합니다.

지금까지 좌표축의 방향을 따르는 반변벡터성분과 tangent 기저를 이야기했습니다.
그렇다면 이제 아래와 같은 새로운 좌표계를 떠올려봅시다.

왜 이런 이상한 좌표계를 떠올려야 하냐구요?

이 좌표계와 우리의 원래 좌표계가 합쳐져서 물리학에서 불변량을 정의할 수 있기 때문입니다.
이것에 대한 자세한 이야기는 여기서 생략하죠.

암튼, 위의 새로운 좌표계의 특성을 살펴보시죠.

먼저, coordinate line 또는 coordinate surface란 말을 이해하여야 하는데요.

이는 좌표값이 동일한 line (2차원에선) 또는 surface (3차원)를 말합니다.

이게 헷갈리기에 잘 생각해보죠.

그렇다면, 위 그림에서 원래 좌표계인 X 1 coordinate line은 어디일까요?

가장 이해하기 쉬운 X 1 coordinate line은 바로 X 2또는 e2축 일 겁니다.

e2축을 통해선 X 1좌표값이 항상 0임을 생각하면 이해할 수 있을 겁니다.

이제 새로운 좌표계의 특성을 정의할 수 있습니다.

i번째 새로운 좌표축은 j번째 원래 좌표축의

coordinate line 또는 coordinate surface에 수직한 방향입니다.

예를 들어, 새로운 좌표축의 기저벡터 e2는 X 1 coordinate line에 수직한 방향으로 정의되어 있죠.

그리고 직교좌표계에서는 이런 원래 좌표계와 새로운 좌표계가 똑같다
는 것을 위 그림으로부터 쉽게 상상할 수 있을 겁니다.
따라서 직교 좌표계에서는 공변과 반변이 같습니다.

이 새로운 좌표계에서 기저벡터는 e1, e2와 같이 윗첨자를 사용하는데,

이 벡터들을 원래 좌표계에 대해서 dual basis라고 부릅니다.

그리고 윗첨자를 사용하기에 dual 기저들 사이의 변환에서 반변적으로 변환합니다.
직교좌표계에서는 dual 기저나 tangent 기저나 같다고 말씀드렸죠?

즉, εi=εi입니다.

직교 좌표계의 dual 기저에서 비스듬한 좌표계의 dual기저로
(반변적으로) 변환하는 공식은 아래와 같습니다.

이에 상응하는 벡터성분은 원래의 좌표계의 tangent 기저의 변환과 같은 방식으로
아래와 같이 변환하기에 공변적 변환을 하게 됩니다.

참, 좌표변환행렬을 적을 때는 항상 반변 좌표(윗첨자)을 사용한다는 점
역시 기억해두시면 좋을 듯 합니다.

그치만, 직교좌표계의 경우에는 밑첨자나 윗첨자나 같기에
지수와 헷갈릴 수 있는 윗첨자보다는 밑첨자를 사용하는 경우가 많습니다.

아까 tangent 기저의 원래의 좌표계와 dual 기저의 좌표계는 독특한 관계를 가지고
불변량을 형성한다고 말씀드렸는데,
한 가지 가장 쉬운 예를 하나 드려보겠습니다.

이 2가지 기저들은 서로 대응하는 기저가 아닐 때 (i ≠ j) 서로 직교할 수 밖에 없습니다.

for i ≠ j

아래는 위키백과에 있는 그림인데,

여태까지 한 설명을 토대로 왜 왼쪽이 tangent 기저벡터이고
오른쪽이 dual 기저벡터인지 이해해보면 좋은 연습이 될 것 입니다.

[Image from http://en.wikipedia.org/wiki/Covariance_and_contravariance_of_vectors]

직교좌표계에서 텐서의 좌표변환 법칙에 대한 이해 (transformation law)

성돌 — Sun, 10 Apr 2016 10:01:33 +0900

텐서의 좌표변환 법칙에 이야기해보도록 하겠습니다.

이 부분은 텐서를 이해하는 데 있어서 가장 기본이 되고 중요합니다.
그리고 사실 이 부분만 제대로 이해하면 텐서라는 개념이 훨씬 쉬워집니다.

우선 앞 서 이야기한 바와 같이 텐서라는 것은
어떤 좌표변환을 하더라도 그 특성이 변하지 않는 것을 텐서라고 합니다.

이 말을 풀어서 설명하면,
직교좌표계에서 현상을 기술하던 원기둥좌표계로 좌표변환을 해서 현상을 기술하던
같은 결과가 나와야 한다는 것입니다.

너무 당연한 말이지요.
이렇게 너무나 당연한 물리량을 우리는 텐서량이라고 합니다.

텐서의 기본이 좌표변환이기에
우리는 이 좌표변환을 잘 이해해야만 앞으로 텐서를 잘 이해할 수 있습니다.

우선 직교좌표계(Cartesian coordinate system)에 대해서만 살펴봅시다.

이 좌표계는 가장 쉬운 좌표계이기에
처음 텐서를 배울 때 이 좌표계에서 성립하는 텐서 법칙을 먼저 배웁니다.

직교좌표계내에서의 좌표변환은 대부분 아래와 같은 회전변환입니다.

[Image from wikipedia]

위의 그림은 왼쪽의 x₁, x₂, x₃의 unprime좌표계에서
x₁', x₂', x₃'의 prime이 있는 좌표계로 변환하는 것을 보여줍니다.

그리고 이런 좌표변환은
아래와 같이 좌표변환행렬을 이용하면 된다는 것을 알고 있을 겁니다.

위의 a₁₁, a₃₁같은 것들은 위 그림에서 보이는 것처럼
방향 코싸인(direction cosine)이라고 불리는 것 들입니다.

위의 식을 첨자 명명법(indicial notation)을 따라 표기하면 아래와 같이 compact하게 표기됩니다.

그런데 위의 a₁₂를 우리는 x₂좌표축과 x₁'좌표축 사이의 각도의 코싸인값이라고 부르는 데요.
사실 우리가 이후에 일반적인 좌표계에서의 좌표변환을 이해하기 위해서는
이를 아래와 같이 이해해야 합니다.

위 식은 너무 당연한 것이 위 행렬식에서 1번째 열이 아래와 같기에 때문입니다.

위식을 x₂에 대해서 미분하면 당연히 a₁₂가 튀어나오겠죠.

이를 이용해서, 위의 회전변환을 아래와 같이 표현할 수 있습니다.

여기서 ∂x_i'/∂x_j이 좌표변환행렬입니다.

좌표변환행렬이 위처럼 방향코싸인들의 행렬일 경우는
직교좌표계에서 회전변환일 경우에 국한됩니다.

일반적인 좌표변환의 경우에는 ∂x_i'/∂x_j로 적어주어야 일반적인 기술입니다.

한 가지 팁을 더 알려드리자면, 직교좌표계의 회전변환의 경우에 아래의 식이 성립하죠.

직교좌표계의 회전변환일 경우에는 아래의 식이 추가적으로 더 성립합니다.

위 식은 일반적으로 성립하는 식이 아닙니다만,
직교좌표계간의 회전변환일 경우에는 좌표축 사이의 각도가 같을 수 밖에 없기에
이 식도 성립하게 됩니다.

이를 다르게 설명하자면,
직교좌표계에서는 tangent 기저와 dual 기저가 같기에 이런 특성이 나타납니다.
(다른 포스팅 참고)

x_i'의 prime좌표계에서 x_j의 unprime좌표계로 보내는 좌표변환은 아래와 같습니다.

여기서 보통 위의 a_ij에서 2번째 index는 일반적으로 unprime 좌표계를 지시합니다.

그리고 이 좌표변환을 아래와 같이 나타낼 수도 있죠.

지금까지 좌표변환을 할 때 좌표변환행렬을 한번만 곱해주었는데,
이것은 1차텐서(벡터)인 경우에 그렇습니다.

2차텐서는 2번 곱해주어야 하고,
3차텐서는 3번 곱해주어야 합니다.

2차텐서의 직교좌표계 내에서 좌표변환은 아래와 같습니다.

또는

반대쪽 방향의 변환은 아래와 같습니다.

또는

이 포스팅에서는 별로 중요치 않았기에 언급하지 않았지만,
회전행렬 a_ij는 orthogonal한 특성 때문에 역행렬이 전치행렬인 a_ji와 동일합니다.

이도 매우 중요한 내용입니다.

다음 포스팅에서는 일반적인 좌표계에서의 좌표변환을 다루도록 하겠습니다.

연속체 역학에 대한 개념적인 소개 (고체역학과 유체역학의 차이)

성돌 — Sun, 10 Apr 2016 01:29:09 +0900

이 글에서는 연속체 역학(continuum mechanics)에서 무얼 배우는 지
개념적으로 살펴보도록 하겠습니다.

많은 사람들이 연속체 역학은 고체역학과 유체역학을 합쳐둔 것이라 말하는데,
이는 상당히 괜찮은 설명이라 생각합니다.

다만 고체역학과 유체역학이 특정한 공학적인 상황들에 대해
이론적인 문제 해결 지식을 제공해주는 것에 대한 반면,

연속체역학은 좀 더 근원적으로
왜 이런 이론적인 식이 있고 그 의미에 대해서 설명해주는 과목입니다.

따라서 고체역학과 유체역학에 대해 더 폭넓은 개념적인 이해를 가지고자 한다면,
연속체 역학은 필수 과목일 것 입니다.

위 책은 제가 공부한 책인데, 추천할 만큼 잘 쓰여있는 책입니다.
더 자세히 공부하고자 하신다면, 참고하셔도 좋을 듯 합니다.

일단 연속체라는 말부터 가볍게 이야기해보죠.

물질은 원자나 분자라는 분리된 입자들의 합으로 이어져 있죠.

우리 눈에는 책상이나 물이나 다 연속적으로 입자들이 이어진 것처럼 보이지만,
사실 이러한 입자들 사이에는 빈 공간이 이어져 있고 엄밀한 의미에서는 불연속인 것 입니다.

그렇지만 우리가 일상생활을 하는 수준의 크기...
즉 mm정도의 크기나 그 보다 좀 작은 수준의 크기에서는 고체나 액체를 연속적인 물체로 간주할 수 있습니다.

이 정도 수준에서는 불연속적인 입자들의 연결들의 특성이 그다지 중요하게 작용하지 않기 때문이죠.

그렇다면, 연속적이라고 간주한다는 건 무슨 말일까요?

그건 바로, 수학적으로 연속이라 간주한다는 것 입니다.

가장 대표적인 예가 미분량인 dx, dy, dz같은 것들일 겁니다.

불연속적인 물질의 특성을 생각한다면,
이렇게 작은 물리량은 당연히 이런 불연속적인 물질의 특성을 반영해야만 합니다.

그러나 연속체 역학에서는 이런 미분량에서도 불연속적인 특성이 나타나지 않고,
큰 사이즈에서 보여주었던 물질의 연속적인 특성을 그대로 유지하고 있다는 것을 가정하고 있습니다.

그리고 연속적인 물체에 대해 가장 기본적인 역학 공식은
아래와 같은 뉴튼의 제 2법칙입니다.

정리하자면,
물질을 연속적인 물체라 가정하고 거기에 뉴튼의 제 2법칙과 같은 기본 역학 법칙을 적용하여
우리에게 필요한 유용한 정보를 해석하는 것이 연속체 역학이라 할 수 있겠습니다.

위 식에서 굵은 글씨는 벡터량을 의미하고,
∑F는 작용하는 힘이 하나가 아니라 여러 가지 일수 있고
이를 더해준 값임을 의미합니다.

연속체 역학에서는 응력에 대해서 보다 심층적으로 다루게되고,
이 응력과.... 다른 물리량들이 텐서량이기 때문에
텐서에 대해서도 소소하게 다루게 됩니다.

제가 이 블로그에 여러번 소개한 바와 같이
저는 응력을 measure of force intensity라고 표현한 말을 상당히 좋아합니다.

물체에 힘이 가해지면,
물체내부에 힘이 분포되는데 이를 응력이라는 개념으로 표현한 것이죠.

이 응력은 단위 면적당 힘의 단위를 가지고 있습니다.

우리는 뉴튼의 제 2법칙을 물체 내부에 대해 적분해 준 형태로 아래와 같이 적을 수 있습니다.

위 식에서 t는 응력벡터를 의미하고 밑첨자인 n은 단위 방향 벡터를 의미합니다.
다른 포스팅에서 설명한 바와 같이
t_n는 n방향을 법선벡터로 가지는 면에 작용하는 응력벡터를 의미하죠.

위의 면적분은 물체의 표면 S에 대해서 이 응력벡터를 면적분해준 걸 의미합니다.
(응력은 표면힘의 일종이니.. 면적분을 해주어야 함...)

두번째 항은 단위 질량당 체적힘인 b를 밀도에 곱해주고, 체적 ∀에 대해서 체적 적분을 해준 것이고요.

오른쪽 항은 속도 벡터 v에 대해서 체적적분을 해주고 시간에 대해 미분을 해준 것이니 가속도를 의미합니다.

즉, 뉴튼의 제 2법칙에 따라서 보면
왼쪽에 있는 항들이 ∑F이고 오른쪽에 있는 항이 ma이겠네요.

위 식이 일반적인 식입니다.

그런데 고체역학에서는 물체의 움직임이 없죠?
그래서 고체역학에서는 아래의 식을 풀게 됩니다.

그리고 고체역학에서 유명한 아래와 같은 구성방정식(constitutive equation)에
의해서 응력은 변형률로 표현될 수 있습니다.

위 식에서 변형은 고체역학에서 strain을 의미합니다.

즉, 응력을 운동방정식으로 부터 알아내고,
구성방정식에 의해서 물체의 변형에 대해서 해석해내는 것이
고체역학이라고 할 수 있겠네요.

물론, 위 식은 응력과 변형과의 관계가 선형인 (linear) 경우에 대해서만,
다른 말로 하면 변형이 작은 경우에 대해서만, 성립하는 방정식이죠.

하지만 많은 경우에 이런 선형 가정이 성립하기 때문에 매우 유용하게 사용되는 구성방정식입니다.

위에서 탄성계수라 함은 우리가 일반적으로 아는 영률(Young's modulus)입니다.

그렇지만, 우리가 쉽게 하나의 상수라 생각하는 영률은 매우 간단한 경우에 국한된 것이고,
일반적이고 정확한 의미에서 이 영률은 4차 텐서입니다.

그리고 응력과 변형(strain)은 모두 2차 텐서이죠.

선형 탄성학(linear elasticity)을 배우면 이에 대해서 좀 더 심층적으로 배우게 될 겁니다.

이번에는 유체역학을 살펴봅시다.

유체역학에서는 ma항을 0로 두는 것 없이 위의 식을 그대로 풀게 됩니다.

그런데 유체역학에서는 위의 응력이 아래와 같이 변형률(strain rate)의 구성방정식으로 표현됩니다.

이 식의 가장 간단한 형태로 아래와 같은 유명한 식이 있죠.

위 식에서 알 수 있듯이 , 변형률(dv/dy)은 속도의 구배(gradient)입니다.

즉, 운동방정식에서 응력이 결국 속도의 함수가 되는 것입니다.
이 운동방정식이 속도의 함수로 잘 표현한 것을 Navier-Stokes equation이라고 합니다.

유체역학에서는 유체의 속도를 계산하는 것이 가장 중요하기에
운동방정식이 속도를 계산할 수 있는 형태를 갖춰야 하기 때문이죠.

유체역학에서 압력(pressure)과 응력(stress)에 관한 개념적인 & 수식적인 이해

성돌 — Fri, 8 Apr 2016 09:48:53 +0900

압력(pressure)과 응력(stress)에 대해서 비교하면서 설명을 해보도록 하죠.

우선, '물질 내부의 압력'이라는 용어 자체가 유체역학에서 등장한다는 점을 상기합시다.
고체역학에서는 보통 응력이라는 용어만을 사용하죠.

결론부터 말하자면,
응력이 보다 상위의 개념이고, 압력은 응력의 한 부분입니다.

유체역학에서 압력이라는 개념이 등장하게 되고 중요한 것은
이 압력의 구배(gradient)가 유체를 가속시키는 물리량이기 때문입니다 (링크 참고).

응력에 대해서는 다른 포스팅을 참고해주세요.

이 포스팅에 설명한 바와 같이 응력은 텐서량입니다.
이 텐서량인 응력의 어떤 부분이 압력인지 살펴보도록 하죠.

우선, 응력이 무엇인지에 대해서 다시 한번 정확하게 집고가죠.

응력은 쉽게 말해서 단위 면적 당 힘입니다.
제가 좋아하는 표현은 measure of force intensity란 표현입니다.

외부에서 가해진 힘은 그게 고체든 유체든 물체 내부에 분포하게 되는데,

이렇게 분포된 단위 면적 당 힘을 응력이라고 합니다.

유체역학에서 이 응력은 물리적인 의미에 따라 아래와 같이
압력과 점성응력으로 아래와 같이 나누어질 수 있습니다.

압력은 무조건 압축된 값을 기준으로 하고 있기 때문에,
음수의 값인 압축응력값이 압력에서 양수값입니다.

따라서 응력과 부호가 반대이기에, 마이너스 부호를 압력에 붙여준 것입니다.

그리고 위의 응력 텐서는 아래와 같이 나비어-스톡스 방정식에서 나타나게 됩니다.

점성응력이란 점성에 의해 발생하는 유체입자간에 발생하는 마찰력이라고 이해하시면 될 것 같습니다.

물리적 원인에 의해서 응력은
물질의 탄성력에 의한 탄성 응력(elastic stress)과
점성에 의한 점성 응력(viscous stress)로 다시 나뉠 수 있어요.

고체의 경우 고체의 종류에 따라서 탄성 응력과 점성 응력을 모두 가질 수 있지만,
유체의 경우에는 일반적으로 탄성 응력이 없고 점성 응력만을 가지게 됩니다.

추가적으로 말씀드리자면,
위의 행렬식은 아래와 같이 indicial notation에 의해 compact form으로 나타내질 수 있습니다.

위의 행렬식은 움직이는 유체에 대한 것이고,
정지하고 있는 유체의 경우에는 점성응력이 모두 0이 되므로
아래와 같이 더 단순하게 식이 나타내질 수 있습니다.

위 식은 당연히 T₁₁=T₂₂=T₃₃임을 포함하고 있습니다.

그리고 이렇게 정지하고 있을 때의 유체의 압력을 정수압(hydrostatic pressure)이라고 합니다.

마지막으로 한 가지 더 중요한 차이는 방향성에 대한 것인데...

압력은 앞서 행렬에서 보여졌던 것처럼 표면에 수직방향 성분만을 가르킵니다.
반면 응력의 경우에는 수직방향(normal) 뿐 아니라 수평방향(shear) 역시 가질 수가 있어요.

유체에서 점성 응력 텐서란? (viscous stress tensor)

성돌 — Fri, 8 Apr 2016 09:48:31 +0900

역학에서 응력 텐서(stress tensor)를 이해하는 것은 아주 중요한 개념적 기초입니다.

이에 대해, 제대로 된 이해가 없이 역학을 한다면,
아무래도 역학에 대해 깊이 있는 이해를 가지기가 어렵습니다.

그건, 유체역학에서도 마찬가지 입니다.

이전 포스팅에서, 압력과 응력의 차이를 설명했었는데
이 포스팅에서는 이를 조금 더 보완하는 설명들을 해보도록 하겠습니다.

우리가 빈번하게 다루는 비압축성 유체의 경우 변형이 없으니,
비압축성 유체의 응력은 변형율에 의해서만 주어진다고 할 수 있습니다.

그리고 변형에 관련된 응력이 탄성응력이고
변형율에 관련된 응력이 점성응력이기에,
우리는 유체역학에서 점성응력만 다루는 것입니다.

부피가 변하지 않는 비압축성 뉴튼 유체의 경우
점성 응력 텐서(viscous stress tensor)는 아래와 같이 표현됩니다.

첫번째 줄은 점성응력텐서를 벡터 형식으로 표현한 것이고,
두번째 줄은 첨자 표기법(indicial notation)으로 표현한 것이고,
세번째 줄은 모든 항을 풀어서 행렬 형태로 나타낸 겁니다.

개인적으로 첨자 표기법이 가장 물리적 의미를 알아보기 쉬운 형태라 생각하고 있습니다.

뉴튼 유체라는 조건은 그냥 점성계수 μ가 변형률의 함수가 아니라는 것이예요.

압축성 유체의 경우에는 아래와 같이 λ가 포함된 항을 대각원소들에 각각 더해주면 됩니다.

이는 부피가 변함에 따라 작용하는 점성 응력을 나타냅니다.

부피가 안 변하는 비압축성의 경우,
∇·u이 0이기에 부피 변화의 점성응력이 0이 된다는 점을 확인할 수 있습니다.

λ를 조금 더 자세히 설명하자면 부피가 증가하면서 발생하는 응력에 대한 비례상수로써
유체역학의 경우 bulk viscosity라 불립니다 (다른 포스팅 참고).

한 가지 더, 설명을 추가하자면 점성 응력 텐서의 모든 값들이 속도에 의한 함수이기에
속도가 없을 때는 점성 응력도 존재하지 않는다는 점도 기억해두시길 바랍니다.

참고) Papanastasiou, Tasos, Georgios Georgiou, and Andreas N. Alexandrou. Viscous fluid flow. CRC Press, 1999.