물질 미분이란? (material derivative)

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물질 미분에 대해서 이해하기 위해서는 

우선 오일러 좌표계와 라그랑지 좌표계의 차이를 이해해야 한다.

이전 포스팅에서 이들 좌표계의 차이에 대해서 자세하게 적고,

물질 미분에 대해서 언급을 이미 해두었지만 여기서는 조금만 더 자세히 언급하고자 한다.

유체역학에서는 유체입자를 추적하며 따라가는 것이 보통 중요치 않으며,

특정 위치에서 그 순간의 유체 입자의 속도나 가속도가 중요한 경우가 훨씬 많다.

따라서 유체역학에서는 일반적으로 오일러 좌표계를 사용하는 것이다.

이전에 언급한 바와 같이 오일러 좌표계로써 시간 t에서의 위치 (x,y,z)에서의 속도벡터는

시간 t에서 (x,y,z)에 위치했던 유체입자의 속도를 지칭하는 것이다.

예를 들어, 시간이 조금 더 흐르게 되어서 위치 (x,y,z)에 다른 유체입자가 있다면, 

그 때는 이 다른 유체입자의 속도가 위치 (x,y,z)에서의 속도이다.

즉, 라그랑지 좌표계와는 달리 입자를 절대 추적하지 않는 것이다.

역시 이전 포스팅에서 언급한 것처럼...

가속도와 같은 물리량은 입자의 물리량으로써 라그랑지 관점(물질좌표계로써)으로 구하는 것이 맞는 것이다.

즉, 오일러 좌표계에서 물질을 추적하면서  미분을 하기 위해 만들어 진 것이 물질 미분(material derivative)이다.

이것은 아래와 같은 수학식을 가진다.

위의 물질 미분은 물질의 어떤 물리량에 다 적용이 될 수 있다.

유체역학에서는 보통 가속도를 구할 때 사용되지만, 

밀도라던가 다양한 물리량에도 사용될 수도 있다.