오차가 있는 값끼리 연산했을 때의 오차 계산 (오차의 전파 : error propagation)

오차는 실험을 하게되면 필연적으로 발생하는 것이다.
그런데 이 오차를 가지고 있는 값들을 서로 더하거나 곱하는 연산을 해야하는 필요도 상당히 빈번하다.

많은 경우, 이런 의문이 발생한다.
예를 들어 우리가 x라는 값을 측정했을 때 이 값이 

x라는 평균값을 가지고 δx라는 오차를 가지고 있다는 것을 알게 되었다고 하자.

뭐, 숫자로 예를 들어서, x가 10이고 δx가 1라고 해보자.

그렇다면, x = x ± δx = 10 ± 1일 것이다.

여기서 의문은...
그렇다면, x²의 오차나 x^-1의 오차는 어떻게 계산하며...

또 다른 오차를 가진 값인 y = y ± δy와의 연산인...
x+y의 총 오차는 어떻게 평가하는 지에 대한 것이다.

이에 대해 계산하는 것을 연산에 따라서 오차가 전달되어 간다는 의미에서...
오차의 전파(error propagation)라고 한다.

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우선, 가장 간단한 경우로써 더하거나 빼는 경우에 대해서 살펴보자.

더하거나 빼는 경우인 x±y의 오차인 δ(x±y)는
아래와 같이 동일하게 아래의 식으로 간단히 계산될 수 있다. 

이 경우는 쉬워서 특별한 설명이 필요하지 않을 것이다.

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두번째 경우는 곱하거나 나누는 걸 생각해보자.
여기서부터는 오차백분율(percentage error)를 생각하면 쉽다.

오차백분율은 말 그대로 오차를 평균값으로 나눈 것이다.
그럼... 몇 %정도의 오차인지가 계산될 것인데...
앞으로의 공식은 모두 이 오차백분율에 기반한다.

곱하거나 나누는 경우의 오차백분율의 전파의 공식은 동일하며...
아래와 같다.



또는 수식으로 나타낸다면...




위 식은 x와 y를 곱한 오차백분율과 x에서 y를 나눈 값의 오차백분율은 오른쪽에 위치한 것처럼

각각의 오차백분율을 제곱해서 더한 값의 제곱근과 같다는 것을 나타낸다.

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마지막으로 거듭제곱(power)이 있을 경우에는 어떻게 하는지를 알아보자.

즉,   xⁿ의 오차는 어떻게 평가하는 지를 알아보는 것이다.

여기서 n은 임의의 실수이다.
이것이 의미하는 것은 n은 양수일 수도 있고 음수일 수도 있고...
정수(integer)에 국한되지 않는다는 것이다.

아래의 공식에 의해서 xⁿ의 오차백분율이 계산될 수 있다.



또는 수식으로 나타낸다면...

즉, 거듭제곱을 한 값의 오차백분율은
거듭제곱을 하지 않은 값의 오차백분율에 n의 절대값을 곱해준 값이라는 것이다.

...
...

뭐... 이런 기본 지식으로 실험데이터를 더 정확하게 표현할 수 있을 것이다.