응력과 응력 텐서란? (Stress tensor)

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응력 텐서(Stress tensor)에 대해서 이야기해보도록 하죠.
물체 표면에 힘이 가해지면, 물체 내부에 응력이 발생하게 됩니다.

응력을 어떤 사람이 measure of force intensity라고 표현했는데,
전 이 표현을 매우 좋아합니다.

힘이 어떻게 작용하는 지에 따라서, 힘의 종류를
line force, surface force, body force로 분류할 수 있는데요.

Line force는 contact line처럼 물체의 선에 작용하는 표면장력같은 힘을 일컫구요.
Surface force는 물체의 면에 작용하는 힘이고,
Body force는 중력처럼 물체의 체적에 작용하는 힘입니다.

물체 내부에는 이 중에서 line force는 제외하고,
표면힘(surface force)과 체적힘(body force)이 분포하게 되죠.

  응력에서 일컫는 힘은 표면힘(surface force)입니다.

물체 내부의 미소면적에 작용하는 단위 면적당 표면힘이 바로 응력입니다.
아래의 식에 표현된 것처럼요.

위에서 f는 물체 내부의 표면힘을 일컫고 S는 물체 내부의 표면을 의미합니다.
밑줄을 그은 것은 둘 다 벡터량임을 나타내는 것입니다.

그리고 위의 식은 물체 내부의 미소면적에 대해서 회전력(moment)가 0가 된다는
아래의 식과 함께 함께  Cauchy stress principle라고 불립니다.

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그런데 위의 응력벡터는 한 면에 작용하는 응력만을 기술한 것으로써,
응력을 기술하기에는 좀 부족합니다.

응력을 정확히 기술하기 위해서는 아래 그림에 표현된 것처럼
미소 정육면체를 생각하고 (한 면만이 아닌) 6가지 면에 작용하는 응력 벡터를 모두 고려해줘야 해요.

아래의 그림에서 응력은 σ로 표시되어 있습니다.

http://en.wikipedia.org/wiki/Cauchy_stress_tensor

위의 그림에서 6개의 녹색 화살표가 6개 면에 각각 작용하는 응력벡터입니다.

그런데 이 6개 면에 작용하는 6개의 응력벡터는 9가지 응력 성분으로 표현될 수 있고,

이를 보통 아래와 같이 행렬의 형태로 표현할 수 있습니다.
이를 응력텐서(T)라고 해요.

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위의 그림에 대해서 더 자세히 설명하도록 하겠습니다.

위의 그림은 물체 내부의 한 점을 위와 같이 정육면체로 표현하고,
이 중 대표적인 3개의 면위에 (x1, x2, x3 방향) 
각각 3개의 다른 방향의 응력이 작용하고 있는 것을 나타냅니다.

예를 들어, σAB는 A방향의 면에 작용하는 B방향의 응력성분을 나타냅니다.

앞서 포스팅에서 설명한대로 텐서란 것은 어떻게 바라보아도 그 본질이 바뀌지 않는 것이며,
자연계에 실재하는 대부분의 물리량이 텐서라 부릅니다.
응력텐서 또한 이러한 특성을 만족시키기에 텐서라고 부르는 것이죠.

위의 그림에서 x1, x2, x3가 오일러 방식에 의한 좌표계(Eulerian coordinates)로써
이 좌표계에 의해 응력텐서가 기술되었다면 
(응력텐서가 오일러 좌표의 함수라면),

이 응력텐서를 코시응력텐서(Cauchy stress tensor)라고 부르며
아래와 같이 대칭행렬이 됩니다. (σAB=σBA)
따라서 실질적으로 6개의 성분으로 모든 응력성분을 기술할 수 있습니다.

위에서 대칭행렬이 되는 조건은 모멘트 평형(moment equilibrium)으부터 주어집니다.

응력텐서들 중에서 코시응력텐서가 가장 일반적으로 사용되는 응력텐서이며,
오일러좌표기술 방식에 대해 더 자세히 알고 싶다면 이전 포스팅을 참고하면 좋을 듯 합니다.

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여기서부터는 이 응력텐서를 다루는 방법에 대해서 알아보도록 합시다.

한 점에서 특정 방향의 면에 가해지고 있는 응력벡터(stress vector)를 알고자 한다고 해보죠.
여기서 응력벡터를 보통 traction vector(t)라고도 하는데,

여기서 특정 방향의 면 A의 법선 방향을 nA이라는 단위벡터로 표시한다면 아래와 같이 구할 수 있습니다.

위에서 tA에서 밑첨자인 A는  nA을 법선벡터로 가지는 A면에 작용한다는 의미로 표시한 것 입니다. 

만약 A방향 면에 작용하고 있는 응력벡터의 B방향 성분을 알고 싶다면 아래와 같이 하면 됩니다.

(B방향의 단위벡터을 nB라고 했을 때)

예를 들어, A방향 면에 수직인 방향으로 작용하는 응력을 구하고 싶다면 아래와 같이 하면 됩니다.

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조금 더 이야기를 하자면...

만약 좌표계가 라그랑지 방법으로 기술되었다면,
위의 응력텐서는 2가지의 다른 방법으로 기술될 수 있으며
이를 각각 피올라-키르히호프 응력 텐서(Piola–Kirchhoff stress tensor)와 

2차 피올라-키르히호프 응력 텐서(2nd Piola–Kirchhoff stress tensor)라고 합니다.

이중 피올라-키르히호프 응력 텐서는 일반적으로 대칭행렬이 아니며,
2차 피올라-키르히호프 응력 텐서는 대칭행렬입니다.

이 3가지 응력텐서는 오일러 좌표와 라그랑지 좌표사이의 좌표변환이 알려져 있을 때,

서로 변환될 수 있습니다.

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