직교좌표계에서 텐서의 좌표변환 법칙에 대한 이해 (transformation law)

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텐서의 좌표변환 법칙에 이야기해보도록 하겠습니다.

이 부분은 텐서를 이해하는 데 있어서 가장 기본이 되고 중요합니다.
그리고 사실 이 부분만 제대로 이해하면 텐서라는 개념이 훨씬 쉬워집니다.

우선 앞 서 이야기한 바와 같이 텐서라는 것은
어떤 좌표변환을 하더라도 그 특성이 변하지 않는 것을 텐서라고 합니다.

이 말을 풀어서 설명하면,
직교좌표계에서 현상을 기술하던 원기둥좌표계로 좌표변환을 해서 현상을 기술하던
같은 결과가 나와야 한다는 것입니다.

너무 당연한 말이지요.
이렇게 너무나 당연한 물리량을 우리는 텐서량이라고 합니다.

텐서의 기본이 좌표변환이기에
우리는 이 좌표변환을 잘 이해해야만 앞으로 텐서를 잘 이해할 수 있습니다.

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우선 직교좌표계(Cartesian coordinate system)에 대해서만 살펴봅시다.

 이 좌표계는 가장 쉬운 좌표계이기에
처음 텐서를 배울 때 이 좌표계에서 성립하는 텐서 법칙을 먼저 배웁니다.

직교좌표계내에서의 좌표변환은 대부분 아래와 같은 회전변환입니다.

[Image from wikipedia]

위의 그림은 왼쪽의 x₁, x₂, x₃의 unprime좌표계에서 
x₁', x₂', x₃'의 prime이 있는 좌표계로 변환하는 것을 보여줍니다.

그리고 이런 좌표변환은 
아래와 같이 좌표변환행렬을 이용하면 된다는 것을 알고 있을 겁니다.

위의 a₁₁, a₃₁같은 것들은 위 그림에서 보이는 것처럼
방향 코싸인(direction cosine)이라고 불리는 것 들입니다.

위의 식을 첨자 명명법(indicial notation)을 따라 표기하면 아래와 같이 compact하게 표기됩니다.

그런데 위의 a₁₂를 우리는 x₂좌표축과 x₁'좌표축 사이의 각도의 코싸인값이라고 부르는 데요.
사실 우리가 이후에 일반적인 좌표계에서의 좌표변환을 이해하기 위해서는
이를 아래와 같이 이해해야 합니다.

위 식은 너무 당연한 것이 위 행렬식에서 1번째 열이 아래와 같기에 때문입니다.



위식을 x₂에 대해서 미분하면 당연히 a₁₂가 튀어나오겠죠.

이를 이용해서, 위의 회전변환을 아래와 같이 표현할 수 있습니다.

여기서 ∂x_i'/∂x_j이 좌표변환행렬입니다.

좌표변환행렬이 위처럼 방향코싸인들의 행렬일 경우는
직교좌표계에서 회전변환일 경우에 국한됩니다.

일반적인 좌표변환의 경우에는 ∂x_i'/∂x_j로 적어주어야 일반적인 기술입니다.


한 가지 팁을 더 알려드리자면, 직교좌표계의 회전변환의 경우에 아래의 식이 성립하죠.

직교좌표계의 회전변환일 경우에는 아래의 식이 추가적으로 더 성립합니다.

위 식은 일반적으로 성립하는 식이 아닙니다만,
직교좌표계간의 회전변환일 경우에는 좌표축 사이의 각도가 같을 수 밖에 없기에 
이 식도 성립하게 됩니다.

이를 다르게 설명하자면,
직교좌표계에서는 tangent 기저와 dual 기저가 같기에 이런 특성이 나타납니다.
(다른 포스팅 참고)


x_i'의 prime좌표계에서 x_j의 unprime좌표계로 보내는 좌표변환은 아래와 같습니다.

여기서 보통 위의 a_ij에서 2번째 index는 일반적으로 unprime 좌표계를 지시합니다.

그리고 이 좌표변환을 아래와 같이 나타낼 수도 있죠.

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지금까지 좌표변환을 할 때 좌표변환행렬을 한번만 곱해주었는데,
이것은 1차텐서(벡터)인 경우에 그렇습니다.

2차텐서는 2번 곱해주어야 하고,
3차텐서는 3번 곱해주어야 합니다.

2차텐서의 직교좌표계 내에서 좌표변환은 아래와 같습니다.

또는

반대쪽 방향의 변환은 아래와 같습니다.

또는

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이 포스팅에서는 별로 중요치 않았기에 언급하지 않았지만,
회전행렬 a_ij는 orthogonal한 특성 때문에 역행렬이 전치행렬인 a_ji와 동일합니다.

이도 매우 중요한 내용입니다.

다음 포스팅에서는 일반적인 좌표계에서의 좌표변환을 다루도록 하겠습니다.

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