크리스토펠 기호(Christoffel symbol)구하기

구면좌표계에서 크리스토펠 기호(Christoffel symbol)값이 무언지 찾아보다가,

부정확한 자료들이 많아서

그냥 직접 Mathematica를 통해서 구해보았다.

Christoffel symbol은 원래 아래와 같이 tangent basis의 gradient를 구할 때에 등장하는데,

위 식은 Christoffel symbol을 계산하는 데에 편리하지 않다.

다만, 위 식을 좀 정리하면 아래와 같이 계산하기 편한 식으로 표현할 수 있다.

(아래의 식의 유도과정은 생략한다.)

한 가지 사족으로 덧붙이자면, Christoffel symbol은 텐서가 아니다.

이 말은 Christoffel symbol은 자연계에 존재하는 물리량이 아니라,

인간이 수식 연산을 편하게 하기 위해서 만들어낸 값이라는 것이다.

어쨋든 위에서 p에 대한 합이 존재한다 (아인슈타인 표기법).

따라서 아래와 같이 식을 적을 수 있다.

여기서 자유첨자(free index)가 모두 3개이므로 (i,j,k),

총 33=27개의 components들이 있을 것을 짐작할 수 있다.

Z는 Cartesian coordinate를 말하며 (Z1=x, Z2=y, Z3=z)

X는 여기서 spherical coordinates를 일컫는다 (X1=r, X2=θ, X3=ϕ).

구면좌표계는 아래와 같이 정의된다.

또한 반대방향으로 아래와 같이 정의될 수도 있다.

위의 좌표계 정의를 Chrisoffel symbol식에 대입하면 아래의 결과를 얻는다.

이를 계산하기 위해 사용했던 Mathematica file도 첨부한다.

ChristoffelSymbol.nb