미분방정식에 대한 생각

대학교에 입학하고 수학을 배울 때,
고등학교 수학과 비교하여 가장 다른 점 중에 하나가 뭔지를 꼽는다면
나는 미분방정식을 배운다는 점을 손꼽고 싶다.

이 미분방정식은 여러 분야에서
너무나 중요하며,
너무나 기본적인 수학지식이다.

그런데 예전의 나를 포함하여 많은 사람들이
이렇게 중요하고도 기본적인 미분방정식에 대한
의미를 충분치 생각하지 않고 그냥 배운다는 생각이 든다.

미분방정식은 말 그대로 '미분계수'을 방정식에 가지고 있는 방정식을 일컫는다.

그렇다면 '미분계수'은 무엇인가?
간단히 말해, '기울기'라고 할 수 있다.

한 번 미분한 것은 말 그대로 기울기이고,
두 번 미분한 것은 첫번째 미분한 것의 기울기인 것이다.

기울기라는 것은 변화율이기에...
미분방정식은 어떻게 변화하는 지를 나타낸 방정식이라고 할 수 있다.

미분방정식에  공간에 대한 미분이 포함되어 있으면 공간의 변화에 따라 어떤 수치가 
어떻게 변화하는 지를 나타낸 것이고,
시간에 대한 미분이면 시간이 변함에 따라 어떤 수치가 어떻게 변화하는 지를 나타낸것이다.

즉, 어떤 물리량이 시간과 공간의 변화에 따라 어떻게 분포되어 있는지를
기울기를 통해서 나타낸 방정식인 것이다.

이러하기에 미분방정식 문제를 풀 때는
경계조건(boundary condition)과 초기조건(initial condition)만으로 문제를 푸는 것이 가능해진다.

당연한 이야기겠지만 
경계조건은 문제가 공간미분을 포함할 때 필요한 조건이며,
초기조건은 시간미분을 포함할 때 필요한 조건이다.

대학에 처음 들어와서 고체역학이나 유체역학을 배울 때
마법과 같이 놀라운 점이 (적어도 나에게는...)
이러한 경계조건과 초기조건만으로 고체나 유체내부의 모든 위치에 대해서
시간의 변화에 따라 알고자하는 물리량을 계산해낼 수 있다는 것이다.

[Movie from Structural_Tech]

예를 들어 위의 자동차에 대한 충격에 대한 시뮬레이션도
충격에 대한 조건을 경계조건 및 초기조건과
자동차 내부를 지배하는 미분방정식을 알기 때문에 
자동차 내부에서 시간의 변화에 따라 특정 위치가 얼마만큼 충격을 받았는지를 해석할 수 있게 된다.