정수압(hydrostatic pressure): 액주 압력계 문제 푸는 원리

---

정수압(hydrostatic pressure)은 중력에 의해 유체가 가지고 있는 압력이다.

일반적으로는 압력(또는 정압)과 정수압이 동일하지 않지만,
액체가 정지해있는 이러한 문제에서는
압력과 정수압이 동일하다.

갑자기 압력 이야기가 나와서 헷갈리는가?
하지만 압력에 대한 개념을 잘 잡아놓는 것은 유체역학에서 필수이고,
유체역학의 압력에 대한 개념은 다음 포스팅에서 자세히 하도록 하겠다.

아마 학생들이 가장 관심있는 정수압 문제는
아래 그림과 같은 액주 압력계 (manometer) 문제일 것이다.

아래와 같이 액체가 분포되어 있을 때, 각각의 위치에서 압력을 어떻게 알아낼 것인가?

-Image from White, Frank M. "Fluid Mechanics"-

중요한 공식은 정수압이 p=ρgh라는 것이다.

여기서 ρ는 액체의 밀도이고, g는 중력가속도, h는 액체의 깊이이다.

정수압 문제에서 가장 중요한 원칙은
같은 종류의 액체라면 깊이가 같은 부분은 정수압이 모두 동일하다는 것이다.

그렇기에 아랫처럼 빨간색 원끼리, 노란색 원끼리, 파란색 원끼리는
같은 종류의 액체로 이어져 있고 위치가 동일하기에 정수압이 동일한 것이다.

-Image from White, Frank M. "Fluid Mechanics"-

그렇다면 이번에는 서로 다른 위치에서의 압력차를 알아보자.
이건 p=ρgh로부터 압력의 차이는 깊이의 차이로 구해질 수 있다는 걸 알 수 있다.
이를 수식으로 Δp=ρgΔh로 표현할 수 있다.

 
아무튼 Δp=ρgΔh로 계산할 수 있다.
예를 들어 p₁과 p₂의 압력 차이를 구하고자 한다고 해보자.

아래의 그림에서 표시된 것처럼 p₁과 p₂의 위치는 밀도가 ρ₂인 액체로 연결되어 있다.

-Image from White, Frank M. "Fluid Mechanics"-

자, 이제 공식을 이용해서 p₁과 p₂의 압력 차이를 계산을 해보면...

일단 p₁이 더 깊은 곳에 있으니, 압력이 더 높을 것이기에...
p₁ - p₂ = ρ₂ g (z₁ - z₂)

의 식으로 압력을 구할 수가 있다.

다만 여기서 주의할 점은 z가 높이가 아닌 깊이라는 점이다.

위에서 내가 왜 p₁가 더 깊은 곳에 있음을 강조했냐면...
그렇다면 p₁ - p₂은 당연히 양수일 것이고,
우변에 있는 ρ₂ g (z₁ - z₂)또한 당연히 양수가 되어야 하기 때문이다.

만약 우변이 음수가 나온다면, 깊이와 높이를 헷갈리지 않았나 고민해보자.

---

마지막으로 한 가지만 더 강조를 하자면...
아래의 그림과 같이 공기에 액체가 노출이 되어 있다면,
노출된 부분의 정수압은 대기압과 동일하다.

-Image from White, Frank M. "Fluid Mechanics"-