라플라스 압력 (Laplace pressure)

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여기서는 Young-Laplace equation으로 표현되는 Laplace pressure에 대해서 알아보도록 한다. 

 

이 논의는 '고체/기체'와 '고체/고체'의 계면을 제외한 모든 유체 계면에 적용된다.

 

Young-Laplace equation은 정지해 있는 휘어진 계면에 힘 평형을 적용함으로 유도한 식이다.

 

여기서 중요한 말은 휘어져있다는 건데,  앞서 설명한 대로 계면이 휘어졌다는 것은 평평할 때보다 계면의 면적이 늘어난 것이고, 이는 계면에너지의 증가를 의미한다. 이렇게 계면을 억지로 늘린 것은 계면 양쪽에 있는 유체사이의 압력차이 때문이고, 라플라스 압력은 이 압력차이를 공식화한 것이다.

또, 정지해있다는 조건이 붙는 이유는 

라플라스 압력을 유도할 때 정지해 있는 계면이라는 조건을 사용했기 때문이다.

정지해있는 계면에는 계면에 수직방향인 힘만 작용하며, 접선방향의 힘은 없다.

이를 응용하면 한 가지 더 재밌는 점을 알 수 있는데,
비점성유체일(inviscid fluid) 경우에는 응력텐서가 대각화되기에 (T=pI, provided m=0)
계면에 접선방향의 힘을 작용할 수 없다.

결과적으로 비점성유체의 경우 역시 유체가 정지해있지 않더라도,

라플라스 압력 공식을 사용할 수 있다는 것이 된다.

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아무튼, 이러한 2가지 상황에서 계면의 양쪽의 압력차는 아래의 공식으로 구할 수 있다.
계면에서 갑자기 압력이 바뀌기 때문에 이를 pressure jump라고도 표현하기도 한다.

여기서 ΔP는 계면 안과 밖의 압력 차이[N/m²] (정압차:static pressure difference)이며, 
γ는 계면의 표면 장력[N/m], 
ϰ는 곡률[1/m], R₁과 R₂는 계면의 주곡률반경(principal radii of curvature)이다.

 

주곡률반경은 곡면이 있을 때,
특정 점에서 곡률반경 중 최대 곡률반경과 최소 곡률반경이다 (따라서 2개). 

그리고 이 곡률반경들은 서로 수직하나, 이에 대해서는 수학적인 내용이기에 여기서 다루지 않겠다.

 

곡률 ϰ을 위와 같이 주곡률반경으로 나타낼 수도 있지만, 
주곡률반경을 모를 때 불가피하게 다소 복잡한 곡률의 식을 이용해야할 수도 있다.
(더 정확한 곡률의 식을 보고싶다면, 위키피디아를 참고하자.)

 

하지만 곡률이 많이 크지 않다고 가정하면 (x방향으로 거의 직선과 유사하다고 가정하면), 

아래와 같이 단순화된 식이 곡률을 계산하는 데에 사용될 수도 있다.

 

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그렇다면, 어느 쪽의 유체가 압력이 더 높을까?

압력이 높은 위치는 볼록한 부분의 내부이다. 

(압력이 높으니, 볼록 튀어나온 거다...)

 

예를 들어, 아래의 공기 방울 이미지를 보자.

아래의 이미지에서는 방울 내부가 압력이 더 큰 위치이다.

  

[Image from http://www.hdwallpaper.me/Air-bubble/Colorful-air-bubble-air-bladder-027.html] 

 

위와 같은 구의 형상을 가진 계면은 최대 곡률반경과 최소 곡률반경이 같다 (R₁=R₂).

 

즉, 이 경우 위의 식은 아래와 같이 단순화된다 (R=R₁=R₂). 

 

여기서 ΔP는 계면이 내부로 작용하고 있는 압력이며, 

계면 외부는 공기이기에 대기압(P_a)이라는 점을 생각하면 계면 내부의 압력(P_i)을 아래와 같이 구할 수 있다.