오일러(Eulerian)와 라그랑지(Lagrangian)의 좌표계의 차이와 물질미분(material derivative)

오일러 방법의 좌표 기술과 라그랑지 방법의 좌표 기술의 차이를 아는 것은 매우 중요합니다.

이는 역학 문제를 깊게 이해하는 데에 핵심이 되죠.

먼저 라그랑지 좌표계(Lagrangian coordinates)부터 살펴봅시다. 

이것은 물질좌표계(material coordinates) 또는 참고좌표계(referential coordinates)라고도 불립니다.

개인적으로, 라그랑지 좌표계라는 말보다 물질좌표계나 참고좌표계라는 말이 훨씬 좋아하는데,
이는 좌표계의 본질이 무엇인지 보여주기 때문입니다.

이들 좌표계들의 차이를 보려면, 위치와 물질이라는 개념을 구별해서 이해해야 합니다.

물체 A와 B가 초기 시간 (t =0)으로부터 시간 t까지 아래와 같이 이동했다고 합시다.

라그랑지 좌표계는 물체를 따라가면서 기술하는 좌표계라고 합니다.
(이러한 이유로 material coordinates라고 불리는 것이고요.)

중요한 것은 시간 0일 때의 물체의 위치(초기위치)를 좌표로 사용하여 위치를 기술한다는 점입니다.
영어책을 보면, 물체를 초기위치에 따라서 label했다고 적혀있을 겁니다.
이러한 이유로 referential coordinates라고 불리죠.

그리고 시간이 지난 후에는 초기위치를 사용하여 위치를 기술하는 겁니다.

예를 들어,
물체 A는 라그랑지 기술방법으로 초기 시간에 (1,5,0)인 것이고, 시간 t에서는 (1,5,t)인 것이죠.

물론, 물체 A의 시간 t에서의 실제 위치는 (5,1)입니다.
그러므로 초기 위치로부터 시간 t에서의 위치로 보내주는 아래와 맵핑(mapping)함수 f 가 필요하죠.
이에 대해 좀 더 자세한 설명은 다른 포스팅을 참고해 주세요.

이 함수 f 에 의해서 나중 위치가 초기위치에 비해 어떻게 변했는지를 추적하는 것이고,
이 함수 f 는 보통 운동방정식을 품으로 얻을 수 있습니다.

라그랑지 좌표 기술 방식을 요약하면,  초기 위치를 좌표로 사용해서 시간에 지남에 따라 각각의 물체를 따라가면서  시간이 지난 후의 위치를 맵핑(mapping)함수 f 를 이용해서 표기하는 것 입니다.

특징으로는
물질 A의 라그랑지 좌표는 (label된 초기좌표) 계속 (1,5)로써 시간에 따라 변하지 않는다는 겁니다.
물론 시간이 지난 후, 나중 위치를 함수 f 로 확인할 수 있지만,
라그랑지 방법에서 좌표는 초기위치를 사용함을 다시 새겨둡시다.
 
이런 초기 위치를 이용하는 특성때문에 고체역학(solid mechanics)등에서는
변형전 위치로 사용되기도 합니다.
변형을 기술하는 보다 자세한 내용에 대해서는 다른 포스팅을 참고합시다.

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이런 질문이 들 수 있어요.

"그냥 A의 경우 (1,5)에서 (5,1)로 이동했다고 하면 되지. 왜 이렇게 복잡하게 만드는 것인가? "

물론, 위의 예처럼 하나나 두개의 입자의 좌표를 표시할 때는 이런 방식이 당연히 편하죠.

하지만 1000개나 100000개 또는 무한개라고 할 수 있는 많은 입자의 좌표를 추적한다고 했을 때... 이것들이 원래 어디에 있던 물질이고,  어디로 어떤 경로로 얼만큼 이동했느냐를 알고 싶어할 때는...  이러한 다소 번거러워 보일 수도 있는 방식이 상당히 쉽고 효과적인 겁니다.

예를 들어, 무수히 많은 입자들의 변위(displacement, 위치의 변화)는 아래와 같이 구할 수 있습니다.

위에서 f (x, y, t)는 시간 t 에서의 위치이고 (x, y)는 초기위치입니다.
즉, 초기위치와 시간의 함수로써 구할 수 있죠. 

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다음은 오일러 좌표계(Eulerian coordinates)를 살펴봅시다.

오일러 좌표계는 다른 말로 공간좌표계(spatial coordinates)라고 불리는데요.

여기서도 개인적으로 오일러 좌표계보다 공간좌표계라는 말을 저는 훨씬 좋아합니다.

다시 똑같은 물체의 이동을 생각해보시죠.

오일러 좌표계는 물체보다는 위치를 중요시하는 좌표계입니다.
이러한 좌표기술 방법은 유체역학과 같이 물체 하나하나를 따라가는 것보다 

특정 위치에서의 물성을 중요시하는 분야에서 주로 사용됩니다.

예를 들어, 위에서 위치 (5,1)에 초기에는 물체 B가 있고 시간 t에서는 물체 A가 있다고 합시다. 속도의 관점에서 말하면,  초기에 위치 (5,1)의 속도는 물체 B의 속도이며, 시간 t에서의 속도는 물체 A의 속도입니다. 이게 바로 오일러 기술 방식입니다.

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두 좌표계의 차이를 이해하기 위해서는 아래의 예를 들어봅시다.

시간 t에서 좌표 x와 y의 속도를 v (x, y, t)라고 해보죠.

이 v (x, y, t)가 라그랑지 관점에서 기술된 좌표계에 의한 것이라면,
이는 초기좌표가 x와 y였던 물질이 시간 t가 지난 후에 위치한 그 지점에서의 속도를 의미합니다.

만약, 이 v (x, y, t)가 오일러 관점에서 기술된 좌표계에 의한 것이라면,
그냥 x와 y라는 위치에서 t라는 시간에 우연찮게 놓인 물질의 속도를 의미합니다.

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오일러 기술 방식에서 반드시 이해해야하는 개념이 물질미분(material derivative)입니다.

가장 중요한 예중 하나인 위치 (5,1)에서 유체의 가속도를 구한다고 해봅시다.

그런데 가속도라는 것은 물질의 이동에 대한 것이지,
오일러 좌표계의 고정된 위치에 대한 것이 아니죠.

예를 들어, 시간 t에서 위치 (5,1)에서의 유체의 가속도는 시간 t에서의 물체 A의 가속도일 겁니다. 
비슷한 맥락으로 시간 0에서 위치 (5,1)에서의 유체의 가속도는 물체 B의 가속도이죠.

그런데 물체 A의 가속도라는 것은 물체 A를 따라가면서 측정하는 가속도이기에
오일러 좌표기술 방법은 적합하지 않습니다.

결국, 라그랑지 방식이 되어야 하는 것이죠.

즉, 물질미분이라는 말은 공간좌표계에서 물질에 대해 미분을 하기 위해 등장한 개념이며, 
아래와 같이 적용됩니다.

                                                                            

위의 문제는 2차원 문제(x, y)이기에 y까지만 해주었습니다. 
3차원 문제(x, y, z)는 z까지 식을 이어주기만 하면 되요.

두번째 줄의 식은 첫번째 식을 단순히 속도와 구배(gradient)를 이용해 표기한 것 입니다.
v는 속도 벡터를 의미하죠. 

예를 들어, 시간 t에서 위치 (5,1)에서의 가속도는 그 때의 물체 A의 속도(VA)에 의해 아래와 같이 표현될  겁니다.

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