dx/dy는 dy/dx의 역수인가?

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미분과 관련된 공부를 하다보면, 빈번하게 발생하는 질문이..

dx/dy는 dy/dx의 역수인가?
라는 의문이다.

사실 이 의문은 dx와 dy를 미분량인 조각(또는 미분량, differential)으로 볼 것인지,
아니면 d/dx라는 미분연산자(differential operator)로 볼 것인지와 관련이 있다.

사실, 미분 조각으로 보는 것이 원리적으로 맞다.
(물론 미분연산자라는 말이 틀리다는 것이 아니라, 미분의 출발점이 미분 조각이라는 것이다.)

하지만 이 미분 조각은 조심하면서 다루어야 하는 것이다.
여기서는 이 점에 대해 다루어 보도록 하자.

왜 이 미분 조각을 조심해서 다루어야 하느냐?
그건 독립적인 값인 dx와는 달리 dy가 x에 종속된 값이기 때문이다.

이게 무슨 말이냐?
dy는 x가 변함에 따라 변하는 값이라는 것이다.

어떻게 변하는 지 아느냐고?
y=f (x)일 때, dy/dx=f '(x)라는 것은 다 알것이다.
이 때, dy=f '(x)dx이다. 여기서 보이듯이 dy는 x에 대한 함수이다.

예를 들어, 매우 쉬운 함수인 y=0.5x를 아래와 같이 들어보자.
dx는 어디나 독립적으로 동일하고,
dy는 0.5dx라는 값으로 이미 정해져 있다 (종속적인 값).

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자, 그렇다면 처음의 질문으로 돌아가보자.
과연 dx/dy는 dy/dx의 역수일까?

결론부터 말하자면, y와 x가 일대일 대응을 하는 함수라면 이것은 항상 성립한다.

우리가 쉽게 아는 일대일 대응 함수는
위의 예와 같은 일차함수(y=ax)나 삼차함수 중 y=x³가 있다.

증명은 너무나 쉽다.
위의 그림에서 dx와 dy를 미분 조각으로 이해하면,
당연히 dy/dx와 dx/dy가 역수가 되지 않겠는가?

하지만 일대일 대응함수가 아닌 경우, 문제가 발생한다.

이차함수인 y=x²를 예로 들어보자.
아래 그래프처럼, x=1에서 dy/dx값은 쉽게  2인 것을 알 수 있을 것 이다.

그렇다면, 여기서도 dx/dy는 dy/dx의 역수로써 1/2일까?
이건 반만 맞는 말이다.

왜냐면, dy/dx가 x의 함수였던 것처럼 dx/dy는 y에 대한 함수이다.
y=x²에서 x=1에 대응하는 값은 y=1인데,
 아래와 같이 y=1에 대응하는 dx/dy값은 1/2과 -1/2로 총 2개가 있다.

위의 예를 통해 정리하자면,
정확히 x=1과 y=1인 부분에서는 dx/dy는 dy/dx의 역수이지만,
dx/dy는 y의 함수이지... x의 함수가 아니므로 한 가지 미분값을 택할 수가 없다.

그렇기에 dx/dy는 y=1에서 1/2와 -1/2의 두 가지 값을 갖기에,
dx/dy가 dy/dx의 역수라고 할 수 없는 것이다.