수학은 왜 배울까? (이미지의 예를 통해 살펴본 수학)

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많은 학생들, 특히 중, 고등학생들이 공부를 하면서 많이 떠올리는 의문 중 하나는 

수학을 왜 배우는가이다.

 수학이 매우 어려운데도 불구하고, 

막상 실생활에서는 돈 계산할 때 정도 밖에 숫자연산을 사용하지 않는 것처럼 보이니

 어떻게보면 필요없는 것을 배운다는 느낌을 받을 수도 있다.

나도 학생일때, 심지어 어른들이 "수학은 필요없다. 사칙연산만 할 줄 알면 된다."라는 말을 많이 들어봤다.

[정글고 371화에서]

그런데 수학이 정말 신선놀음처럼 우리 삶에 전혀 관련이 없는가? 

결단코 그렇지 않다. 

수학은 우리의 모든 삶에 녹아들어있고 매우 유용하다.

우리는 수학 덕분에 이만큼 살고있는 거고 수학은 세상을 다루기위해 인간이 만들어낸 가장 뛰어난 도구이다.

[정글고 371화에서]

수학은 우리 삶을 이해하고 컨트롤하기 위한 가장 정확한 도구이다.

다만 이걸 사람들이 모르는 이유는  수학이 사용되는 과정이 우리 눈에 보이지 않기 때문이다.

이 후부터는 왜 수학이 그토록 유용한 데 눈에 보이지 않는지를 설명하기 위해 

이미지를 예로 들어 설명하도록 하겠다.

우선, 수학이 왜 이렇게 중요한지에 대해서 간략하게 이야기하겠다.

그 이유는 간단하다.

숫자가 세상을 나타내는 가장 객관적이면서 쉬운 수단인데, 

이 숫자를 다루는 것이 수학이기 때문이다.

예를 들자면 간단하다. 

우리가 속도를 이야기할 때, '빠르다'라는 단어를 사용해서 표현하고자 한다면,

이 빠르다라는 어감이 상황따라 다를 수 있기에 객관성이 떨어진다. 

하지만 속도가 10 m/s라고 하면, 누구나 부인할 수 없는 객관적인 정보가 된다.

이 객관적인 숫자를 이용하기 위해 수학이 태어난 것이다.

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실제적으로 와닿는 예를 들기위해, 이미지 또는 사진에 대해서 생각해보자.

일상 생활에서 우리는 사진을 찍고, 포토샵처리하고, 이미지를 공유한다. 

이런 일이 어떻게 가능한가? 

이런 질문을 받으면 많은 사람들이 그냥 "어? 그냥 되는거 아니야?" 라고 하겠지만, 

사실은 숫자를 사용한 "행렬"을 이용하기에 가능한 것이다.

- Image from archplanbaltimore.blogspot.com - 

[디지털 이미지는 숫자로 구성이 된 행렬로 되어있다. 물론 위의 그림은 상징적인 그림으로 저렇게 숫자가 배열되어 있다는 건 아니다] 

혹, 누가 "아날로그 이미지도 있는데요?" 라고 의문을 던진다면 

아날로그 이미지는 숫자를 이용하지 않기에
포토샵처리가 불가능하고, 사진 공유가 불가능한 것이다.

지금부터 디지털 이미지를 그냥 이미지라고 부르자. 

사진은 행렬들로 이루어져 있다. 

여기서는 설명하기 쉬운 8 bits 디지털 RGB이미지(2⁸=256 칼라)로 예를 들어보자. 

RGB사진은 3개의 행렬로 이루어져 있다. 빨간색(R), 녹색(G), 청색(B)을 담당하는 행렬들 이렇게 3개이다. 

이 3가지 색이 색의 삼원소라고 불리며, 이 색들로 세상의 모든 색을 표현할 수 있다는 건 잘 알고 있는 사실일 것이다.

컴퓨터도 이 3가지 색으로 모든 색을 나타낼 수 있는데, 각각의 행렬은 0에서 255까지의 숫자로 구성이 되어있다. 

이 숫자는 각각의 색의 강도를 나타낸다. 

R의 255는 가장 강한 빨간색이며, R의 0은 빨간색이 하나도 없다는 걸 의미한다.

Image from www.kirupa.com

추가로 말하자면, 여기서 행렬의 성분(entry)은 이미지의 하나의 pixel에 해당한다. 

즉 1024 pixel × 1024 pixel 이미지는 1024 × 1024 정사각행렬인 것이다.

       

이렇게 색을 수치화하고, 행렬에 그 수를 위치시킴으로 우리는 디지털 이미지를 만들 수가 있게 되었다. 

이를 통해 우리는 이미지을 공유하고, 스캔도 할 수 있고, 프린트를 할 수 있게 되었다. 

또한 동영상도 공유할 수 있게 된 것이다. 

동영상은 기본적으로 사진을 시간 순서로 연속적으로 보여주는 것이다.

또한 이 행렬들에 적당한 수를 특정 수학 연산에 의해 더하거나 뺌으로 
이미지의 밝기를 조절할 수 있다.

예를 들어 RGB행렬에 각각 큰 수를 더해주면, 전체적으로 이미지가 밝아질것이다. 

그리고 특정 색을 기준으로 그 색보다 밝은 색은 더 밝게, 

더 어두운 색은 더 어둡게 한다면 대조가 더 뚜렷한 이미지가 될 것이다.

물론 이걸 수학 연산으로 말하자면 '특정 수를 기준으로 더 큰 수는 더 크게, 더 작은 수는 더 작게'가 될 것이다. 

물론 이런 밝기와 대조를 조절하는 데에는 적절한 수식이 필요할 것이다.

[우리는 이렇게 쉽게 밝기와 대조를 조절하지만, 여기에는 해당하는 수식연산이 포함되어있다]

숫자를 이용하지 않는 아날로그 이미지로는 이런 것들을 할 수 없다.

물론 요즘에는 고화질 이미지에 대한 요구로 256칼라는 잘 사용하지 않고, 트루 칼라를 주로 이용한다.

하지만, 앞서 말한 이미지를 숫자로 환산하고, 

이 숫자를 적절히 조절함으로 이미지처리를 한다는 원리는 어느 방법이든 같다.

지금까지 이미지에 수학이 어떻게 사용되는지 아주 겉핥기만 살펴보았다. 

하지만 이미지를 많이 활용하는 사람들 대부분이  이것을 몰랐으리라 생각한다.

왜냐면, 이렇게 수학이 사용되는 과정을 보여줄 필요도 없고, 보여줘봐야 복잡해보이기만 하기 때문이다.

다른 부분들도 비슷하다.

많은 부분에서 수학이 실제로 사용되고 우리가 그 덕분에 살지만 그것이 표면에 드러나지 않기 때문에 우리가 알지 못하는 것 뿐이다.

수학은 우리 삶에 너무나 필수적인 도구이다. 

우리 삶의 필수품인 컴퓨터의 이름이 왜 숫자를 계산하는 계산기(computer)인지 잘 생각해보자.

[Image from www.aei-ideas.org]