선형이라는 것의 의미 (Linear 하다는 것의 의미)

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대학에서 수학을 배우다 보면, 선형이라는 말 또는 linear하다는 말을 굉장히 많이 듣게 될 것이다. 

하지만 나의 경우는 이런 말을 들을 때마다 상당히 불편했다. 

선형이라는 것은 개념상 직선을 가리키는 말이지만, 

지금 배우고 있는 수식들은 전혀 직선의 방정식의 형태가 아니었기 때문이다. 

그래서 선형이라는 말의 의미를 자세히 알고 싶어 책을 보아도 속 시원히 답변해주는 경우가 별로 없었다. 

대부분 아래와 같이 설명되어 있을 뿐이었다.

"수식이 어떠어떠한 형태를 가지고 있으면,  선형이라고 하고 아니면 비선형이라고 한다"  (???)

[Image from zal.upnl.org]

물론 위의 수학적 정의도 매우 귀중한 거긴 하지만...

내가 정말 알고 싶었던 것은 

왜 그걸 선형이라고 부르고, 그것들이 어떤 특성을 가지냐는 것이었다. 

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우리가 선형이라고 부르는 수식들의 특징은 

직선의 방정식에서의 중요한 특성인 중첩의 원리(superposition principle)가 적용된다는 것이다. 

이 중첩의 원리는 수식이 복잡할 경우 답을 쉽게 구할 수 있는 매우 강력한 도구가 된다. 

아래의 직선의 방정식 y=ax를 고려해보자.

서로 다른 입력값인 x₁과 x₂를 함수에 대입했을 때 구해지는 함수값은 각각 ax₁과 ax₂이다.

이 때, x₁+x₂의 함수값은 a(x₁+x₂)로 x₁과 x₂의 함수값을 각각 구하고 더해준 ax₁+ax₂값과 동일하다.

너무나 당연한 말처럼 보이지만, 이것이 대단히 중요하고 유용한 중첩의 원리이다. 

물론 중, 고등학교 때는 위와 같은 것이 너무 당연하고 별로 유용하지도 않았기에 다루지도 않았을 것이다.

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그러나 대학교 수학에 들어오게 되면, 

방정식이 너무나 복잡해져서 조금이라도 간단한 방정식은 

그 방정식의 특유의 특성을 이용해서 풀 필요가 존재하는 데, 

대표적인 것이 선형 상미분 방정식(linear ordinary differential equation)이다.

여기서 선형이라고 말할 때, 그 방정식의 가장 중요한 특성은 위의 중첩의 원리가 성립한다는 것이다.

이를 다른 말로 하면, 한 함수값을 다른 여러개의 함수값의 합으로 표현할 수 있다는 것이다.

이에 의거하여 선형 상미분 방정식의 솔루션이
왜 여러개의 기저 함수값의 합으로 표현될 수 있는지를 이해할 수 있다.

예를 들어, 가장 일반적인 상미분방정식인 아래의 상수계수를 갖는 2차 상미분 방정식은

, 여기서 a,b,c는 상수이다.

아래의 2개의 기저 함수값의 합으로 표현되는 일반적인 함수값(general solution)을 갖는다.

물론 중근인 경우등을 고려해야 하지만, 여기서는 그런 세세한 것은 넘어가기로 하자.

2차 상미분방정식은 위와 같이 2개의 기저 함수값으로 모든 함수값을 표현하는 것이 가능 (중첩!)하다. 

물론 3개나 4개의 함수로 표현해도 되지만, 

서로 2개의 독립적인 기저함수만으로 충분히 모든 함수값을 표현할 수 있기에 굳이 3개나 4개를 사용하지 않는 것이다.

조금 더 설명을 덧붙이자면, 

비선형문제(Nonlinear)가 어려운 이유는 중첩의 원리가 통하지 않기 때문이다.

왜 중첩의 원리가 통하지 않을 때, 문제가 어려워지냐면 문제가 직관적이지 않게 되기 때문이다.

이게 무슨 말이냐면, 중첩의 원리가 통한다는 것은 결과값이 어느 정도 예측이 가능하다는 것이다.

(입력값을 중첩시키면, 결과값도 중첩된 결과가 나올 테니까-)

하지만 비선형문제는 이런 논리가 통하지 않게된다.

결과값이 입력값에 전혀 상관없어 보일만큼 전혀 예측이 불가능한 해가 나오기도 하는 것이 비선형 문제인 것이다.

여기서 비선형문제를 일일히 다루기는 어렵지만,

위에서 언급한 중첩의 원리라는 것이 이만큼 중요한 문제임을 다시 한번 새겨줬으면 한다.