주기 함수를 Exp[iwt]로 가정하는 이유

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공학 공부를 하다보면, 주기 함수를 e^iwt의 형태로 가정하는 것을 정말 자주 보게 된다
(여기서 i는 무리수, w는 진동수[Hz], t는 시간이다). 

물론 오일러 공식에 의해서 e^iwt = cos(wt) + i sin(wt)의 삼각함수로 표현될 수 있지만, 가끔 헷갈리게 되는 것은 

"실제 세상의 문제를 다루는 점에 있어서 복소함수를 사용해도 되는가?"

라는 의문이다.

결론부터 말하자면, 물리학에서 다루는 양자역학과 같은 드문 경우를 제외하곤,

더 쉽게 말해 공학문제에서는, 무리수는 현실 세상과 아무 관련이 없다.

이를 위해 오해의 여지가 있는 위의 방정식을 조금 수정할 필요가 있는데,
우리는 정확히는 e^iwt의 실수 부분인 Re(e^iwt)만을 사용하고 있는 것이다. 

e^iwt를 사용하는 것은 다분히 수학적 편의성 때문인데, 이 수학적 기교를 조금 더 설명해보겠다.

Re(e^iwt)라는 함수를 문자로 서술하면 
시간을 허수값으로 input을 넣었을 때의 구해지는 output의 실수값을  
Re(e^iwt)라는 함수식을 이용해 찾는 것이다. 

우리는 지금까지 늘 실수축에 있던 input을 실수축의 output으로 보내는 경우만 생각했는데,
이번엔 재미있게도 input을 의도적으로 허수축으로 보낸것이다. 

이렇게 하여 굳이 Re(e^iwt)를 사용하여 얻을 수 있는 이점은 분명하다. 

지수 함수가 적분과 미분을 하기에 삼각함수보다 훨씬 쉽기 때문이다. 결국 수학적으로 쉽게 문제를 풀 수 있기에, 무리수라는 개념을 사용하는 것이다.

물론 이렇게 할 수 있는 것은,
처음부터 삼각함수를 사용하던지 지수함수의 실수 부분인 Re(e^iwt)를 사용하던지 수치적인 값은 동일하기 때문이다.
물론 미분을 해도, 적분을 해도 말이다. 

아래는 이런 수치적인 동일성을 보여주는 한 예인데,
물론 이 작은 예로 이걸 증명해 보일 수는 없지만 안 하는 것보다는 낫겠으므로... 

cos(t)는 지수복소함수 형태로 표기하면 e^it의 실수 부분이다 (w가 1인 경우). 
물론 수학적으로 완벽하게 표현한다면, 오일러 공식에 의해서 cos(t) = (e^it + e^-it)/2이겠으나...
여기서는 실수부분으로 표기하는 것을 논의하고자 하니...
이 등식이 미분을 한 후에도 성립한다는 것을 아래의 간단한 연산으로 알 수 있다. 
물론 어디까지나 이건 절대 증명이 아니고, 한 가지 예이다.