주 응력(principal stress)에 대해서 이해해보도록 합시다.
응력에 대해서는 이전 포스팅에서 자세하게 설명해 두었습니다.
응력은 앞서 말한 바와 같이 응력텐서가 대칭이기에
6개의 응력성분으로 아래의 응력텐서로 기술이 될 수 있습니다.
그런데 이 응력텐서의 응력성분은 좌표축을 회전시킴에 따라
무한히 바뀔 수밖에 없습니다.
그래서 우리는 무언가 특징적으로 대표적인 응력 성분을 이 응력텐서로부터 구하고 싶은데요.
이게 바로 주 응력(principal stress)입니다.
더 쉽게 말해서 최대 수직 응력을 구하고자 하는 거죠.
n방향에 수직인 면에 작용하는 응력벡터는 아래와 같이 구한다고 말씀드렸습니다.
여기서 n은 단위 방향 벡터입니다.
일반적인 경우에 이 응력벡터의 방향이 n방향과 같을 이유는 없습니다.
그런데 이 응력벡터의 방향이 n방향과 같게되는 경우가 딱 3경우가 아래처럼 존재하게 됩니다.
[Image from manual.midasuser.com]
이 경우에는 응력방향의 방향이 면의 수직방향이니,
이는 이 면에는 수직응력만이 존재하고 전단응력은 존재하지 않는다는 것을 의미합니다.
즉, 수직응력만이 존재하는 면이 3군데 존재한다고 할 수 있겠군요.
그리고 이런 조건을 아래와 같이 수식으로 표현할 수 있습니다.
위에서 σ는 상수입니다.
그런데 위 식에서 응력텐서가 대칭이기에 왼쪽항의 내적순서를 아래와 같이 바꾸어줄 수 있습니다.
이건 indicial notation으로 수식을 바라보면 더 명확해지는데요.
첫번째 식을 indicial notation으로 표현하면 아래와 같이 됩니다.
그런데 대칭조건에 의해서 Tij=Tji이기에 아래와 같이 됩니다.
이제 이 문제는 우리가 공업수학에서 배웠던 단순한 고유값문제(eigenvalue problem)이 됩니다.
즉, 이러한 방향 n가 존재하기 위해서는 아래의 수식이 성립해야하고,
배웠듯 이 식을 만족시키는 σ는 3개 존재할 것입니다.
보통 이 중에서 양의 방향으로 최대값을 σ1이라하고, 최소값을 σ3이라 합니다.
물론 아직까지는 양의 방향으로 응력의 최대값이 σ1이라고 이야기할 수 없습니다.
σ1이 양의 숫자 (인장 응력)인데 σ3이 음의 숫자 (압축 응력)인 상황에서
σ3의 절대값이 σ1보다 클 수도 있는 것이고,
모어의 응력원을 그림으로 찾을 수 있는 최대 전단응력이
이러한 수직응력들보다 클 수도 있습니다.
이 들에 대해서는 모어의 응력원에 대해서 배우면 더 명확해 질 것입니다.
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