점성 소실(viscous dissipation)이란?

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점성 소실(viscous dissipation)에 대해서 알아보자.

이 viscous dissipation은 유체역학에서 에너지 방정식에 등장하는 것으로,
상당히 유용하지만 이에 대한 설명이 부족한 것 같아 설명을 하고자 한다.

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이 viscous dissipation을 개념적으로 설명을 하자면,
점성이라는 것은 유체역학에서 마찰력과 같은 것이다.

마찰에 의해 에너지가 내부에너지(열)로 전환되듯이,
유체에서도 점성에 의해서 에너지가 내부에너지로 전환이 되는데...

이렇게 되면, 결과적으로 일(work)을 할 수 있는 에너지인 운동에너지와 위치에너지를 잃게되므로
에너지를 잃어버렸다고 (dissipation) 해서 이를 '점성 소실'이라고 부르는 것이다.


이 viscous dissipation을 보통 Φ로 표시하는데, 비압축성 유체의 경우 아래와 같이 수식으로 표현된다.

여기서 μ는 점성계수(dynamic viscosity)이고 u, v, w는 각각 x, y, z방향으로의 유체의 속도이다.

위 식에서 viscous dissipation의 단위를 계산해보면, W/m³으로 단위 부피당 일률(power)이다.

즉, 특정 위치에서 단위 부피와 단위 시간 당 얼마나 많은 에너지가
점성에 의해 열로 전환되는 지를 나타내는 것이다.

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그리고 부피가 변하는 압축성 유체의 경우에는 하나의 항이 아래와 같이 더 추가되어야 한다.

여기서 λ가 있는 항이 추가된 것을 볼 수 있고, 이를 coefficient of bulk viscosity라고 한다.

여기서 λ가 익숙치 않을 수 있는데,
이것은 액체의 부피가 변할 때에 작용하는 점성을 의미한다.

따라서 비압축성 유체에 대해서는 질량보존법칙(continuity)에 의해 아래가 성립하기에...
(아래에서 U는 속도벡터를 나타낸다)

따라서 비압축성유체의 경우에는 λ가 있는 항이 0가 되버리기에
viscous dissipation은 맨 처음 식과 같이 훨씬 단순하게 표현될 수 있었던 것이다.


나는 비압축성 유체를 전공한 사람으로 λ에 대해서는 잘은 모르지만,
λ값에 (측정할 수는 있지만) 대해서는 아직 명확한 이해가 부족한 것으로 알고 있다.

이 중에서 λ를 아래와 같이 놓는 것을 스톡스의 가설(Stokes' hypothesis)이라고 하는데,

이는 우리가 비압축성 유체의 경우
유체역학에서 사용하는 압력과 열역학적으로 정의된 압력이
완전히 동일하지 않은 것으로 수식적으로 유도가 되기에 이 둘을 강제로 같게 만들어주려고 하는 시도에서
만들어진 가설이다.¹

그러나 최근 실험결과에 따르면, 이 가설은 틀린 경우가 많고
가설에 따르면 λ는 음수여야 하지만 양수로 측정되는 경우가 많다고 한다.
그러나 앞서 말한대로 완전한 합의에 이르지 못한 것으로 알고 있다.¹

[1] F.M. White, Viscous fluid flow (McGraw-Hill, 2006)