변형 텐서(deformation tensor)와 strain tensor에 대한 개념적 설명

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코시-그린 변형 텐서 (Cauchy–Green deformation tensor)에 대해서 알아볼텐데요.
이 포스팅은 저번에 설명하던 변형 구배 텐서에 이어지는 설명입니다.
여기에 적힌 내용들을 보기전에 이전 포스팅을 꼭 보고 오세요.

앞서 말씀드린대로,
우리는 일반적으로 물체의 순수 회전에는 보통 관심을 주지 않습니다.

그래서 사람들은 물체의 회전의 정보가 배제된 변형텐서를 생각했는데요.
(회전텐서의 역행렬이 전치행렬이라는 특성을 사용하여, R^T•R=R•R^T=I)

이것이 아래의 그린 변형 텐서(Green's deformation tensor), C 또는 C_AB,입니다.

그리고 변형 텐서라는 이름이 의미하듯, 이 텐서량은 변형에 대한 정보를 담고 있습니다.

대표적으로 이전 포스팅에서 설명한 right stretch tensor U는 아래와 같이 C의 제곱근입니다.

근데 행렬의 제곱근을 구하는게 쉽지 않죠?

그렇지만 주응력 방향에서는 행렬이 대각화되기에 제곱근을 쉽게 구할 수 있습니다.
주응력방향에서 U와 C를 각각 U*와 C*라 한다면 아래와 같이 쉽게 제곱근을 찾을 수 있습니다.

그리고 역학을 할 때 매우 중요한 strain tensor, E,가 아래와 라그랑지 관점으로 같이
그린 변형 텐서로부터 구해질 수 있습니다.

이 E를 Lagrangian strain tensor라고 하는데, 이는 이 텐서가 초기좌표의 함수이기 때문입니다.
Lagrangian strain tensor를 아래와 같이 변위(displacement), u,에 의해서 기술됩니다.

여기서 u는 mapping함수 f에 의해서 초기좌표로 아래와 같이 기술된 변위입니다.

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지금까지 한 내용을 모두 오일러 관점으로도 기술할 수 있는데,
이는 좌표평면에 고정된 좌표로 물체의 운동을 기술하는 것 입니다.

그러나 고체역학에서는 물체가 변형 후 더 이상 움직이지 않으므로,
좌표 평면에 고정된 좌표를 변형된 좌표와 동일하게 취급합니다.

다시 말해, 이 경우에 좌표 평면에 고정된 오일러 좌표와 변형 후 좌표 x를 동일시 하겠습니다.
어짜피 물체는 더 이상 움직이지 않으니까요.

먼저 변형 텐서를 오일러 좌표로 기술할 수 있고,
이를 코시 변형 텐서(Cauchy deformation tensor), c,라고 합니다.

그리고 이번엔 Eulerian strain tensor, e,가 아래와 같이 구해집니다.

이 역시 이번엔 오일러 좌표로 기술된 변위에 의해
(여기서 f ^-1는 mapping함수 f의 역함수)

e를 오일러 좌표로 변위를 이용해서 아래와 같이 기술할 수 있습니다.

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그리고 보통 고체역학에서 작은 변형만을 다루기에
변위의 구배가 곱해진 마지막 항은 대부분 그 값이 상대적으로 작습니다.

즉, strain tensor에서 마지막 항들을 없애버리면
위 식의 비선형 항이 없어지게 되고 선형항만 남게 됩니다.

즉, 식이 선형화된 것이죠.
이와같이 선형화된 Lagragian strain tensor는 아래와 같습니다.

마찬가지로 Eulerian strain tensor는 아래와 같습니다.

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