연속체 역학에 대한 개념적인 소개 (고체역학과 유체역학의 차이)

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이 글에서는 연속체 역학(continuum mechanics)에서 무얼 배우는 지
개념적으로 살펴보도록 하겠습니다.

많은 사람들이 연속체 역학은 고체역학과 유체역학을 합쳐둔 것이라 말하는데,
이는 상당히 괜찮은 설명이라 생각합니다.

다만 고체역학과 유체역학이 특정한 공학적인 상황들에 대해
이론적인 문제 해결 지식을 제공해주는 것에 대한 반면,

연속체역학은 좀 더 근원적으로
왜 이런 이론적인 식이 있고 그 의미에 대해서 설명해주는 과목입니다.

따라서 고체역학과 유체역학에 대해 더 폭넓은 개념적인 이해를 가지고자 한다면,
연속체 역학은 필수 과목일 것 입니다.

위 책은 제가 공부한 책인데, 추천할 만큼 잘 쓰여있는 책입니다.
더 자세히 공부하고자 하신다면, 참고하셔도 좋을 듯 합니다.

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일단 연속체라는 말부터 가볍게 이야기해보죠.

물질은 원자나 분자라는 분리된 입자들의 합으로 이어져 있죠.

우리 눈에는 책상이나 물이나 다 연속적으로 입자들이 이어진 것처럼 보이지만,
사실 이러한 입자들 사이에는 빈 공간이 이어져 있고 엄밀한 의미에서는 불연속인 것 입니다.

그렇지만 우리가 일상생활을 하는 수준의 크기...
즉 mm정도의 크기나 그 보다 좀 작은 수준의 크기에서는 고체나 액체를 연속적인 물체로 간주할 수 있습니다.

이 정도 수준에서는 불연속적인 입자들의 연결들의 특성이 그다지 중요하게 작용하지 않기 때문이죠.

그렇다면, 연속적이라고 간주한다는 건 무슨 말일까요?

그건 바로, 수학적으로 연속이라 간주한다는 것 입니다.

가장 대표적인 예가 미분량인 dx, dy, dz같은 것들일 겁니다.

불연속적인 물질의 특성을 생각한다면,
이렇게 작은 물리량은 당연히 이런 불연속적인 물질의 특성을 반영해야만 합니다.

그러나 연속체 역학에서는 이런 미분량에서도 불연속적인 특성이 나타나지 않고,
큰 사이즈에서 보여주었던 물질의 연속적인 특성을 그대로 유지하고 있다는 것을 가정하고 있습니다.

그리고 연속적인 물체에 대해 가장 기본적인 역학 공식은
아래와 같은 뉴튼의 제 2법칙입니다.

정리하자면,
물질을 연속적인 물체라 가정하고 거기에 뉴튼의 제 2법칙과 같은 기본 역학 법칙을 적용하여
우리에게 필요한 유용한 정보를 해석하는 것이 연속체 역학이라 할 수 있겠습니다.

위 식에서 굵은 글씨는 벡터량을 의미하고,
∑F는 작용하는 힘이 하나가 아니라 여러 가지 일수 있고
이를 더해준 값임을 의미합니다. 

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연속체 역학에서는 응력에 대해서 보다 심층적으로 다루게되고,
이 응력과.... 다른 물리량들이 텐서량이기 때문에
텐서에 대해서도 소소하게 다루게 됩니다.

제가 이 블로그에 여러번 소개한 바와 같이
저는 응력을 measure of force intensity라고 표현한 말을 상당히 좋아합니다.

물체에 힘이 가해지면,
물체내부에 힘이 분포되는데 이를 응력이라는 개념으로 표현한 것이죠.

이 응력은 단위 면적당 힘의 단위를 가지고 있습니다.

우리는 뉴튼의 제 2법칙을 물체 내부에 대해 적분해 준 형태로 아래와 같이 적을 수 있습니다.

위 식에서 t는 응력벡터를 의미하고 밑첨자인 n은 단위 방향 벡터를 의미합니다.
다른 포스팅에서 설명한 바와 같이
t_n는 n방향을 법선벡터로 가지는 면에 작용하는 응력벡터를 의미하죠.

위의 면적분은 물체의 표면 S에 대해서 이 응력벡터를 면적분해준 걸 의미합니다.
(응력은 표면힘의 일종이니.. 면적분을 해주어야 함...)

두번째 항은 단위 질량당 체적힘인 b를 밀도에 곱해주고, 체적 ∀에 대해서 체적 적분을 해준 것이고요.

오른쪽 항은 속도 벡터 v에 대해서 체적적분을 해주고 시간에 대해 미분을 해준 것이니 가속도를 의미합니다.

즉, 뉴튼의 제 2법칙에 따라서 보면
왼쪽에 있는 항들이 ∑F이고 오른쪽에 있는 항이 ma이겠네요.

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위 식이 일반적인 식입니다.

그런데 고체역학에서는 물체의 움직임이 없죠?
그래서 고체역학에서는 아래의 식을 풀게 됩니다.

그리고 고체역학에서 유명한 아래와 같은 구성방정식(constitutive equation)에
의해서 응력은 변형률로 표현될 수 있습니다.

위 식에서 변형은 고체역학에서 strain을 의미합니다.

즉, 응력을 운동방정식으로 부터 알아내고,
구성방정식에 의해서 물체의 변형에 대해서 해석해내는 것이
고체역학이라고 할 수 있겠네요.

물론, 위 식은 응력과 변형과의 관계가 선형인 (linear) 경우에 대해서만,
다른 말로 하면 변형이 작은 경우에 대해서만, 성립하는 방정식이죠.

하지만 많은 경우에 이런 선형 가정이 성립하기 때문에 매우 유용하게 사용되는 구성방정식입니다.

위에서 탄성계수라 함은 우리가 일반적으로 아는 영률(Young's modulus)입니다.

그렇지만, 우리가 쉽게 하나의 상수라 생각하는 영률은 매우 간단한 경우에 국한된 것이고,
일반적이고 정확한 의미에서 이 영률은 4차 텐서입니다.

그리고 응력과 변형(strain)은 모두 2차 텐서이죠.

선형 탄성학(linear elasticity)을 배우면 이에 대해서 좀 더 심층적으로 배우게 될 겁니다.

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이번에는 유체역학을 살펴봅시다.

유체역학에서는 ma항을 0로 두는 것 없이 위의 식을 그대로 풀게 됩니다.

그런데 유체역학에서는 위의 응력이 아래와 같이 변형률(strain rate)의 구성방정식으로 표현됩니다.

이 식의 가장 간단한 형태로 아래와 같은 유명한 식이 있죠.

위 식에서 알 수 있듯이 , 변형률(dv/dy)은 속도의 구배(gradient)입니다.

즉, 운동방정식에서 응력이 결국 속도의 함수가 되는 것입니다.
이 운동방정식이 속도의 함수로 잘 표현한 것을 Navier-Stokes equation이라고 합니다.

유체역학에서는 유체의 속도를 계산하는 것이 가장 중요하기에
운동방정식이 속도를 계산할 수 있는 형태를 갖춰야 하기 때문이죠.

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