변형 구배 텐서(deformation gradient tensor)에 대한 개념적 설명

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여기에서는 변형 구배(deformation gradient)에 대해서 다뤄보도록 하겠습니다.
아래와 같은 물체의 변형에 대해서 고려해봅시다.

[Mase, G. Thomas, et al., Continuum mechanics for engineers. CRC press, 2009.]

이 변형에 대해서 생각할 때 라그랑지 관점으로 논지를 전개해 나갈 것인데,
이 관점이 익숙치 않은 분들은 이전 포스팅을 참고하도록 합시다.

여기서 Î의 기저벡터를 사용하고 있는 X좌표는 물체의 초기위치를 기술합니다.
그리고 ê의 기저벡터를 사용하고 있는 x좌표는 물체의 변형 후 위치를 기술합니다.

그리고 이전 포스팅에서 말한 바와 같이 변형 후 x좌표는 어떤 mapping 함수 f에 의해서
시간과 변형 전 좌표 X좌표에 의해서 아래와 같이 기술됩니다.

그리고 보통 고체역학에서는 시간에 따른 변화를 다루지 않고,
변형 전과 변형 후만을 비교하지요?

이런 경우에는 아래와 같이 더 단순한 형태로 표기할 수 있을겁니다.

이 mapping함수 f를 시각적으로 설명을 하자면,
위 그림에서 물체위치 P를 p로 옮겨주고 Q를 q를 옮겨주는 수학적 함수식이 f입니다.
예를 들어 아래와 같이 표현할 수 있겠네요.

이렇게 초기 위치를 기준으로 변형 후 위치를 기술하는 방법을
라그랑지 좌표 기술 방법이라고 합니다.

그리고 한 가지 더 수학적으로 중요한 점을 하나 짚고 가겠습니다.

물리적으로 mapping함수 f는 물체의 위치를 일대일 대응을 시켜주어야 겠죠?
이를 위해서는 아래의 야코비 행렬식(Jacobian determinant)이 0이 되면 안 된다는 조건이 있습니다.

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본론으로 돌아와서, 중요한 것은 변형 후 위치가 초기 위치의 함수라는 점입니다.

즉, 아래와 같이 변형 후 위치를 변형 전 위치로 미분하는 것이 가능하고,
이를 변형 구배 텐서(deformation gradient tensor)라고 하고
F, F_iA 또는 x_i,A로 표기합니다.

위에서 벡터는 굵은 글씨로 표기하였고,
첨자 i와 A는 변형 후와 전을 쉽게 구분하기위하여 각각 소문자와 대문자로 구분하여 적었습니다.

그리고 x_i,A에서 ,이후에 첨자를 적는 것은 미분을 하는 것을 의미합니다.

이 변형 구배 텐서는 물체의 변형을 이해하는 데 매우 중요합니다.
아래의 연쇄법칙(chain rule)에서 보이듯이

변형 전 물체의 미분 조각 벡터(dX)를 변형 후 물체의 미분 조각 벡터(dx)로 바꿔주는 역할
을 하는 것이 변형 구배 텐서의 역할입니다.

여기서 이 미분 조각이 벡터라고 함은 이 미분 조각이 크기 뿐 아니라 방향에 대한 정보도
가지고 있다는 걸 의미합니다.

아래 그림과 같은 물체의 변형을 생각해봅시다.

[Image from wikipedia]

변형 구배 텐서 F는 위 그림에 보이는 것처럼 물체를 변형 전 모양에서
변형 후 모습으로 바꾸어주는 역할을 합니다.

그리고 이 변형 구배 텐서는 아래의 식에서 보이는 것처럼 분리할(polar decomposition) 수 있는데요.

여기서 U, V, R의 물리적 의미는 위 그림에 잘 나타나있습니다.

R은 회전 텐서(rotation tensor)로써 물체를 순수하게 회전시키는 행렬이고,

U, V는 둘 다 물체가 인장되고 수축되는 것(stretch)과 관련한 stretch tensor인데
U는 그림에서 보이 듯 연산 순서에 따라서 먼저 stretch시키고 나중에 회전시키는 텐서로
식에서의 위치에 의해서 right stretch tensor라 불리고,
V는 먼저 회전시키고 나중에 stretch시키는 텐서로 left stretch tensor라 불립니다.

그런데 물체의 순수 회전은 물체 내부에 변형이나 파괴를 초래하지 않기에,
변형의 관점에서 중요한 정보는 U, V텐서이고 이 텐서들은
물체가 얼마나 늘어나고 줄어들었는지에 대한 정보를 담고있죠.

이 텐서들의 고유값(eigenvalue)들은 주 응력방향에서 나타난 stretch에 대한 정보를 가지고 있습니다.

(다른 포스팅 참고)
 
따라서 U텐서나 V텐서나 주 응력방향에서의 stretch에 대한 정보는 같을테니
서로 고유값이 당연히 동일한 특성을 가지고 있습니다.

물론, 먼저 회전시키고 나중에 회전시키는 차이때문에
주 응력이 작용하는 면에 대한 정보가 서로 달라서 고유벡터(eigenvector)는 서로 다릅니다.

물론, 물체의 회전이 없었다면 이 고유벡터도 당연히 서로 같겠죠.

포스팅이 너무 길어져서,
다음 포스팅에 변형 텐서에 대한 내용을 이어서 설명하도록 하겠습니다.

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