공변(covariant)와 반변(contravariant) 변환에 대한 이해

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공변(covariant)과 반변(contravariant)에 대한 논의가 되면 상당히 이해하기 어려운 글들이 많습니다.

여기서는 최대한 이해하기 쉽게 설명해보도록 노력해보도록 하겠습니다.

벡터를 직교 좌표계가 (Cartesian coordinate)아닌
새로운 임의의 좌표계에서 표현할 필요가 있다고 합시다.
직교좌표계에서는 공변성분과 반변성분이 같기에 논의할 필요자체가 없어지기 때문입니다.

예를 들어 아래의 비스듬한 좌표계를 고려해보죠.

이 좌표계에서의 좌표축 방향인 X 1과 X 2를 이용해서 벡터를 표현하는 방법은 

아래 그림과 같이 평행사변형을 만드는 방법밖에 없겠죠.

자, 기저 벡터들을 자세히 살펴보시죠, e1와 e2를 보세요 

이 기저벡터들은 좌표축의 방향으로 있습니다.

그래서 이 기저들을 tangent basis vector라고 부르도록 하겠습니다.
그래서 이 tangent basis vector들에 대해서 첨자의 위치가 밑첨자임을 주목해주세요.
그리고 우리가 일반적으로 basis vector라고 부를 땐,
이 녀석을 지칭하는 것입니다.

공변과 반변에 대한 논의에서 밑첨자는 이것이 좌표변환을 할 때
공변적으로(covariantly) 변환된다는 것을 의미합니다.

그렇다면 좌표변환을 한번 해보죠.
가장 쉬운 좌표계인 직교좌표계에서 지금 다루는 비스듬한 좌표계로 좌표변환을 하는 경우를 생각해봅시다.

아래의 (Z 1, Z 2)의 직교좌표계를 생각해봅시다.

그리고 이 직교좌표축으로 평행한 tangent basis vector들을 ε1와 ε2라고 합시다.

이 때 이 직교좌표계에서 비스듬한 좌표계로 tangent 기저벡터의 변환은
아래와 같이 수식으로 표현됩니다. 



여기서 한 가지 유용한 팁을 드리자면,
좌표변환행렬인 ∂Zk/∂Xi에서 새로운 좌표계인 X가 분모에 위치한 점을 주목해주세요.

아까 tangent 기저벡터의 밑첨자는 이것이 공변적으로 변화한다는 걸 의미한다고 말씀드렸죠?

이렇게 분모에 새로운 좌표계를 넣는 좌표변환행렬을 곱해서 새로운 좌표시스템으로
변환하는 것을 공변적으로 변환(covariant transformation)한다고 합니다.

자, 이번엔 벡터 성분들인 X1과 X2를 보세요.
첨자가 위에 있죠?
이 윗첨자는 이 것들이 반변적으로 변환한다는 것을 의미합니다.

(Z 1, Z 2)의 직교좌표계에서 (X 1, X 2)의 비스듬한 좌표계의
벡터성분의 변환은 아래와 같습니다.

이번엔 좌표변환행렬(∂Xi/∂Zk)에서 새로운 좌표계인 X가 분자에 위치했죠?
이런 좌표변환을 사용해서 새로운 좌표시스템으로 변환하는 것을
반변적 변환(contravariant transformation)이라고 합니다.

반변적이라고 하는 것은 반대로 변한다고 하는 의미인데,
이 벡터 성분이 아까 말씀드렸던 tangent 기저벡터가 변하는 방법과 반대로 변환하기에
이런 이름을 붙인 겁니다.

tangent 기저벡터가 변하는 방법과 같은 방법으로 변환하는 것을
공변 변환이라고 합니다.

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지금까지 좌표축의 방향을 따르는 반변벡터성분과 tangent 기저를 이야기했습니다.
그렇다면 이제 아래와 같은 새로운 좌표계를 떠올려봅시다.

왜 이런 이상한 좌표계를 떠올려야 하냐구요?

이 좌표계와 우리의 원래 좌표계가 합쳐져서 물리학에서 불변량을 정의할 수 있기 때문입니다.
이것에 대한 자세한 이야기는 여기서 생략하죠.

암튼, 위의 새로운 좌표계의 특성을 살펴보시죠.

먼저, coordinate line 또는 coordinate surface란 말을 이해하여야 하는데요.

이는 좌표값이 동일한 line (2차원에선) 또는 surface (3차원)를 말합니다.

이게 헷갈리기에 잘 생각해보죠.

그렇다면, 위 그림에서 원래 좌표계인 X 1 coordinate line은 어디일까요?

가장 이해하기 쉬운 X 1 coordinate line은 바로 X 2또는 e2축 일 겁니다.

e2축을 통해선 X 1좌표값이 항상 0임을 생각하면 이해할 수 있을 겁니다.

이제 새로운 좌표계의 특성을 정의할 수 있습니다.

i번째 새로운 좌표축은 j번째 원래 좌표축의 

coordinate line 또는 coordinate surface에 수직한 방향입니다.

예를 들어, 새로운 좌표축의 기저벡터 e2는 X 1 coordinate line에 수직한 방향으로 정의되어 있죠.

그리고 직교좌표계에서는 이런 원래 좌표계와 새로운 좌표계가 똑같다
는 것을 위 그림으로부터 쉽게 상상할 수 있을 겁니다.
따라서 직교 좌표계에서는 공변과 반변이 같습니다.

이 새로운 좌표계에서 기저벡터는 e1, e2와 같이 윗첨자를 사용하는데,

이 벡터들을 원래 좌표계에 대해서 dual basis라고 부릅니다.

그리고 윗첨자를 사용하기에 dual 기저들 사이의 변환에서 반변적으로 변환합니다.
직교좌표계에서는 dual 기저나 tangent 기저나 같다고 말씀드렸죠?

즉,  εi=εi입니다.

직교 좌표계의 dual 기저에서 비스듬한 좌표계의 dual기저로
(반변적으로) 변환하는 공식은 아래와 같습니다.

이에 상응하는 벡터성분은 원래의 좌표계의 tangent 기저의 변환과 같은 방식으로
아래와 같이 변환하기에 공변적 변환을 하게 됩니다.

참, 좌표변환행렬을 적을 때는 항상 반변 좌표(윗첨자)을 사용한다는 점
역시 기억해두시면 좋을 듯 합니다.

그치만, 직교좌표계의 경우에는 밑첨자나 윗첨자나 같기에
지수와 헷갈릴 수 있는 윗첨자보다는 밑첨자를 사용하는 경우가 많습니다.

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아까 tangent 기저의 원래의 좌표계와 dual 기저의 좌표계는 독특한 관계를 가지고
불변량을 형성한다고 말씀드렸는데,
한 가지 가장 쉬운 예를 하나 드려보겠습니다.

이 2가지 기저들은 서로 대응하는 기저가 아닐 때 (i ≠ j) 서로 직교할 수 밖에 없습니다.

       for i ≠ j

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아래는 위키백과에 있는 그림인데, 

여태까지 한 설명을 토대로 왜 왼쪽이 tangent 기저벡터이고
오른쪽이 dual 기저벡터인지 이해해보면 좋은 연습이 될 것 입니다.

[Image from http://en.wikipedia.org/wiki/Covariance_and_contravariance_of_vectors]