저번 포스팅에 직교좌표계에서의 좌표변환에 다뤘던 것에서 더 나아가서
원기둥이나 구면좌표계와 같은 더 일반적인 곡선 좌표계(curvilinear coordinate system)에서의
좌표변환에 대해서 이야기해봅시다.
직교좌표계(Cartesian coordinate system)도 엄밀히 말하자면,
곡선좌표계 중 하나지만 가장 단순한 경우이기에 예외로 둘 수 있을 것입니다.
원기둥 좌표계와 구면좌표계는 직교좌표계와는 달리 좌표축이 고정되어 있지않고 휘어있죠.
그러나 여전히 좌표축들끼리 서로 직교(orthogonal)하기에 아직은 엄청 어려운 좌표계는 아닙니다.
저도 제 전공이 아니라, 직교하지 않는 좌표계까지는 지식을 가지고 있지 않습니다.
아무튼 이러한 직교하는 곡선좌표계의 좌표변환까지만 이해를 잘 해도,
텐서를 이해하는 데에 훨씬 수월해질 것입니다.
우선 구면좌표계에서 직교좌표계로의 변환을 생각해봅시다.
아! 하나 먼저 말해둘 것이 있다면,
곡선좌표계를 다루더라도 직교좌표계로의 변환은 계속 등장할 것 입니다.
왜냐면 직교좌표계가 이해하기에 가장 쉽고 기준이 되는 좌표계이기 때문입니다.
직교좌표계는 구면좌표계를 통해 아래와 같이 기술될 수 있습니다.
그런데 이 좌표변환은 선형변환이 아니기에...
앞서 직교좌표계에서 한 것처럼 아래와 같은 행렬 변환은 만들 수 없습니다.
대신 아래와 같이 미분량이 되면 가능해집니다.
즉, 미분량에 대해 아래와 같이 좌표변환을 정의할 수 있습니다.
그리고 직교좌표계에서 성립했었던 특성 중 하나는
아래와 같이 더이상 성립하지 않게 됩니다.
그리고 더 이상 좌표변환행렬은 단순한 회전행렬이 아니게 됩니다.
반변(contravariant)과 공변(covariant)변환에 대한 자세한 설명은
다른 포스팅을 참고하시구요.
이런 곡선좌표계에서 반변 벡터 성분의 반변적 변환은 아래와 같습니다.
이번엔 공변 벡터 성분은 아래와 같이 공변적으로 변환합니다.
앞 서 반변과 공변 변환을 설명한 포스팅에서 이미 많은 걸 설명해버렸기에
여기서는 특별히 더 이상 설명할 것이 없네요...
암튼, 직교좌표계와 곡선좌표계의 차이를 잘 알아두시는 것이
중요하리라 생각됩니다.
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