나비어-스톡스 방정식에 대한 개념적인 이해 (유체는 어느 방향으로 움직일까?)

유체역학의 운동방정식을 개념적으로 이해해보도록 합시다.

이를 위해서 

유체는 어느 방향으로 움직일까?

라는 질문을 떠올려보는 것이 좋을 겁니다.

이는 유체역학을 처음 공부할 때, 해야하는 본질적인 의문이라고 생각합니다.
그냥 가르쳐주는 대로만.. 배우는 학생이 되지 않기 위해서는 말이죠.

이 질문에 대한 당연하고 간단한 답은...
유체 속도의 방향으로 유체는 움직인다는 것일 겁니다.

즉, 유체는 어느 방향으로 움직일까라는 의문은
유체의 속도를 어떻게 하면 알 수 있나?
라는 질문으로 바뀌게 되는 거죠.

그렇다면 속도를 어떻게 구할 수 있을까요?
이를 구할 수 있는 방법을 뉴튼이 제시해 준 것입니다.
너무나 유명한 F=ma로 말이죠.

그런데 위 운동방정식으로부터 알 수 있는 것은, 속도가 아닌, 가속도입니다.
따라서 우리는 유체의 속도를 쉽게 알 수 없으며, 가속도를 알 수 있죠.

한 가지 더 덧붙인다면,
유체역학 문제에서 힘 F는 압력구배(pressure gradient, ∇P)로 나타내어집니다.

압력을 베르누이 방정식과 연관지어서 개념적으로 헷갈려 하는 사람이 많은데,
베르누이 방정식에서 정압이 압력입니다.

중요한 건! 유체의 속도는 압력차이에 의해서 가속 또는 감속된다는 겁니다.

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가속도에서 더 나아가 유체의 속도를 정말 구하고자 한다면,
유체의 가속도와 다른 여러가지 조건으로부터 추가적으로 고찰해야 합니다.

그렇다면 이걸 어떻게 할 수 있는까요?

가속도는 속도의 미분량이기 때문에,
속도를 이용하여 가속도를 오일러 관점에서 아래와 같이 표현할 수 있죠.
즉, 가속도를 속도로 표현할 수 있는 것입니다.
(이전 포스팅 참고)

여기서 a는 가속도 u는 속도를 의미합니다.
그리고 아래의 밑줄은 벡터량임을 의미하죠.

이를 앞서 언급한 F=ma에 적용할 수 있습니다.

보통 유체역학에서는 뉴튼의 법칙을 단위 부피에 적용한다는 점을 고려한다면,
유체의 운동방정식을 아래와 같이 개념적으로 적을 수 있습니다.



식이 한 눈에 들어오게 하기 위해 a를 아직 속도로 풀어서 표현하지 않았습니다.

어쨋든, 위의 식을 푼다면 유체의 속도를 구할 수 있게 되는 것이죠.

위 액체가 뉴튼 유체라면 점성에 의한 마찰을 아래와 같이 적을 수 있습니다.
뉴튼 유체란 점성계수가 전단율의 함수가 아닌 유체를 의미하고...
자세한 내용은 다른 포스팅을 참고하시길 바랍니다.

그리고 a를 속도로 풀어서 표현하면,
아래와 같이 우리가 일반적으로 아는
비압축성 뉴튼 유체의 Navier-Stokes equation을 얻을 수 있습니다.

우리는 이 방정식에 적절한 초기조건 및 경계조건을 대입하여 유체 역학 문제를 풀게 되는 거죠.

위에서 g는 중력가속도로 벡터량이기에 역시 밑줄을 표시하였습니다.

g는 body force를 표시하는 것으로
중력 이외에 다른 body force가 있다면 이것을 고려해줘야 하지만,
대부분의 경우는 중력만 고려해주면 됩니다.

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그런데 Navier-Stokes equation은 일반적인 상황에서 풀기가 대단히 어렵기 때문에...

점성이 없는 경우라던지 (Euler equation)
아니면 점성의 영향이 너무 커서 a가 0에 가깝다던지 (Stokes equation)
steady flow라던지

이러한 다양한 가정으로 Navier-Stokes equation을 단순화하여 문제를 풀게 된다는 점도
더불어 기억해두면 좋을 듯 합니다.

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