역학에서 응력 텐서(stress tensor)를 이해하는 것은 아주 중요한 개념적 기초입니다.
이에 대해, 제대로 된 이해가 없이 역학을 한다면,
아무래도 역학에 대해 깊이 있는 이해를 가지기가 어렵습니다.
그건, 유체역학에서도 마찬가지 입니다.
이전 포스팅에서, 압력과 응력의 차이를 설명했었는데
이 포스팅에서는 이를 조금 더 보완하는 설명들을 해보도록 하겠습니다.
우리가 빈번하게 다루는 비압축성 유체의 경우 변형이 없으니,
비압축성 유체의 응력은 변형율에 의해서만 주어진다고 할 수 있습니다.
그리고 변형에 관련된 응력이 탄성응력이고
변형율에 관련된 응력이 점성응력이기에,
우리는 유체역학에서 점성응력만 다루는 것입니다.
부피가 변하지 않는 비압축성 뉴튼 유체의 경우
점성 응력 텐서(viscous stress tensor)는 아래와 같이 표현됩니다.
첫번째 줄은 점성응력텐서를 벡터 형식으로 표현한 것이고,
두번째 줄은 첨자 표기법(indicial notation)으로 표현한 것이고,
세번째 줄은 모든 항을 풀어서 행렬 형태로 나타낸 겁니다.
개인적으로 첨자 표기법이 가장 물리적 의미를 알아보기 쉬운 형태라 생각하고 있습니다.
뉴튼 유체라는 조건은 그냥 점성계수 μ가 변형률의 함수가 아니라는 것이예요.
압축성 유체의 경우에는 아래와 같이 λ가 포함된 항을 대각원소들에 각각 더해주면 됩니다.
이는 부피가 변함에 따라 작용하는 점성 응력을 나타냅니다.
부피가 안 변하는 비압축성의 경우,
∇·u이 0이기에 부피 변화의 점성응력이 0이 된다는 점을 확인할 수 있습니다.
λ를 조금 더 자세히 설명하자면 부피가 증가하면서 발생하는 응력에 대한 비례상수로써
유체역학의 경우 bulk viscosity라 불립니다 (다른 포스팅 참고).
한 가지 더, 설명을 추가하자면 점성 응력 텐서의 모든 값들이 속도에 의한 함수이기에
속도가 없을 때는 점성 응력도 존재하지 않는다는 점도 기억해두시길 바랍니다.
참고) Papanastasiou, Tasos, Georgios Georgiou, and Andreas N. Alexandrou. Viscous fluid flow. CRC Press, 1999.
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