비회전유동(irrotational flow)이면 비점성유동(inviscid flow)인가?

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http://en.wikipedia.org/wiki/Vorticity

오늘 여기서 나누고자 하는 것은 비회전유동이면 비점성유동인가라는 주제이다.

 

이 두 가정은 서로 어떤 관계가 있는 것일까?

 

비회전성(irrotationality)은 유체 입자가 회전을 하지 않는다는 것을 의미하며  회전을 의미하는 벡터 연산인 curl을 속도 벡터에 취해 주었을 때 0인 특별한 조건을 가르킨다. 회전성이란 소용돌이 유동의 미분량과 같은 개념이기에  아주 작은유체입자가 회전하는 것으로 이해할 수 있다. 즉, 이러한 아주 작은 소용돌이는 커다란 소용돌이와 관계없을 수도 있다.

 

여기서 중요한 것은 유체입자가 회전하지 않는다는 것으로 전체의 유동은 회전유동일수 있다는 것이다.

 

쉽게 말해, 소용돌이가 있는 곳에서도 유체입자가 회전을 하지 않는 조건을 사용할 수 있다.

 

처음 들으면 다소 터무니없게 느껴질 지 모르는 가정이지만, 

다행히 boundary layer에서 멀리 떨어져있는 위치에서 이 가정은 잘 성립한다.

 

(즉, boundary layer안에서는 점성 때문에 액체들 사이에 전단응력이 발생하여 유체입자를 회전하게 만드는 거다.)

 

이를 수학식으로 표현하면 아래와 같다.

 

(위의 식을 잘 모르겠으면, 벡터의 외적이나 determinant에 대해서 공부하도록 하자.)

 

이 가정을 사용하면 유체역학 문제가 많은 부분에서 쉬워지는 데, 

무엇보다도 가장 유용한 점은 velocity potential을 이용할 수 있다는 점이다.

 

이 velocity potential에 대해서는 나중에 기회가 되면, 따로 다루도록 하겠다.

 

그리고 많은 사람들이 잘 알고 있는 액체에 대한 가정 중에 하나는 비압축성(incompressibility) 가정이다.

 

이는 공기와 달리 액체는 부피가 잘 변하지 않는다는 것으로 매우 속도가 빠르거나, 

압력이 강한 상황인 몇몇 경우, 

예를 들자면 항공기와 고속 터빈 같은 경우를 제외하고는 일반적으로 성립하는 가정이다.

 

 액체의 비압축성을 수식으로 표현하면 아래와 같다.

  

(위의 식을 잘 모르겠으면, 벡터의 내적에 대해서 다시 공부해보도록 하자.)

 

 

그런데 Navier-Stokes equation에서 점성에 대한 저항력은 아래와 같이 표현된다.

그런데 위의 Laplacian은 vector identity에 의해서 아래와 같이 표현된다.

  

여기서 비압축성 조건과 비회전성 조건을 동시에 사용해주면 아래와 같이 Laplacian은 0가 된다.

  

따라서 점성이 크던 작던간에 점성에 의한 저항력은 0가 된다.

 

요약하자면,  비회전성이고 비압축성이라는 가정을 동시에 사용할 때 점성에 의한 저항력은 0가 되고,  사실상 비점성유동으로 가정할 수 있다.

 (더 정확한 표현으로는 비점성유동의 수학적 특징을 사용할 수 있다. 정확하게는 비점성이 아니므로)

 

물론 정확하게는 비압축성 가정이 함께 있어야하지만, 

대부분의 유동은 비압축성이기에 비회전성이면 많은 경우 비점성유동이라고 간주할 수 있다.