텐서란? (개념적인 이해)

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텐서는 어떻게 바라보아도 그 본질이 변하지 않는 것을 텐서(Tensor)라고 한다.

위의 말은 다소 애매모호한 표현인데,
이것을 수학적으로 정의하면

어떠한 좌표변환을 하더라도 변하지 않는 것을 텐서라고 한다.

즉, 직교좌표계로 바라보던 원기둥좌표계를 바라보던...
혹은 같은 직교좌표계더라도 원점을 이동해서 바라보던...
본질이 변하지 않는 것을 텐서라고 한다.

수학적으로는 이렇게 정의가 되는데, 사실 이것의 의미는 상당히 간단하고 당연하다.

[Image from theladiesfeed.wordpress.com]

우리가 벽을 어떤 힘으로 민다고 하자.

이 힘(텐서)은 어떤 다른 좌표계로 표현하던지  그 힘(텐서)의 본질은 당연히 변하는 것이 아니다.

물론 힘은 보통 벡터로 표시되지만, 벡터도 텐서의 일부분이다.

덧붙이면 스칼라도 텐서의 일부분이다.

지나치게 당연한 이야기를 해서, "왜 저런 말을 굳이 하는 거지?"하고 느낄 수도 있다.

텐서라고 불릴 수 있는 것들은 우리가 생각하기에 지극히 당연한 것들이다.

그리고 자연계에 존재하는... 우리가 생각할 수 있는 거의 모든 물리량은 텐서라고 할 수 있다.

오히려 텐서가 아닌 것들이 이해하기 어렵다.

이 녀석들은 직교좌표계에서 표현하는 것과 원기둥좌표계에서 그 본질이 완전히 바뀌게 된다.

즉, 이건 현실에 존재하는 물리량이 아니다.

텐서가 아닌 것들은 사람이 수학 계산을 편하게 하기 위해 만든 것이지,
실제 자연계에 존재하는 것이 아니다.

대표적인 예이면서 가장 헷갈리는 예로 위치벡터가 있다.

이건 다소 의외로 받아드려질 수도 있다.

우리에게 위치라는 것은 어떤 물체가 차지하는 고유한 특성으로 보이기 때문이다.

하지만 위치벡터라는 것 자체가 원점이 있어야 정의가 되는 것이다.
이 세상에서 위치에 대한 절대적인 원점이 없기에 위치벡터는 텐서가 아니다.

즉, 사람이 수학 계산을 편하기 하기 위해 원점이란 것을 도입해서 만든 것이기에 

위치벡터는 불변하는 것이 아니다.

하지만 두 위치벡터의 차이는 텐서량이다.

 두 위치벡터의 차이는 원점과 관계없이 분명하게 정의될 수 있는 특징이다.

뭐, 그런 것이니 텐서라는 말이 나왔을 때 괜시리 겁을 먹지 말도록 하자.