텐서 연산에 대한 기본 (indicial notation에 의한 연산)

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텐서연산이라고 제목에 적어놓긴 했지만, 

사실 여기서 설명하고자 하는 것은 첨자 명명법(indicial notation)에 의해 표기된 수식을
어떻게 다룰 것인지에 대해서다.

따지고 보면, 행렬도 텐서이기에 행렬연산도 텐서연산이라고 할 수 있다.

그러나 보통 관용적으로 텐서연산을 떠올릴 때는 indicial notation에 의한 연산을
자연스럽게 떠올리게 된다.

아무튼 indicial notation에 의한 연산은 기본적으로 component와 basis를 따로따로 계산한다.

이게 사실 상당히 계산을 편하게 해준다.

그럼 component와 basis는 어떻게 표기될까?

예를 들어, 3차원 공간에서 벡터 V를 표기한다고 하면 보통 V=Viei로 표기한다.

위에서 밑줄은 방향을 가진 벡터임을 의미한다.

그리고 위에서 아래첨자(index)인 i가 2번 중복이 되는데,
2번 중복이 되는 첨자에 한해서 이를 아래와 같이 더해준다.

이를 아인슈타인 표기법(Einstein summation convention)이라고 한다.

물론, 저게 이차원 문제였으면 합을 3까지가 아니라 2까지만 하면 된다.

아인슈타인 표기법에서 주의해야할 것은 첨자가 3번 중복이 되는 경우가 있어서 안된다. 

나중에 괄호인 ()안에 첨자를 표기하여 3번이상 중복되게 첨자가 나올 수도 있지만, 
이런 특수한 상황을 제외하고는 3번 중복되면 그건 수식 잘 못 적은 거다.

여기서 Vi를 component라고 하고, ei를 basis라고 한다.

좀 더 쉽고 일반적으로 말하면, basis가 아닌 것은 다 component이다.

크로네커 델타(δ)나 permutation symbol(ɛ)같은 것도 다 component인 것이다.

앞서 말했듯이, indicial notation에서는 component와 basis를 따로따로 계산하는데,
계산 중 component의 순서는 마음대로 바꿔도 되지만, basis의 순서는 절대 바뀌면 안된다.

예를 들어, 두 벡터의 외적을 살펴보자.

두 벡터의 외적은  permutation symbol(ɛ)에 의해 아래와 같이 정의된다.

여기서 basis가 아닌 ai, bj, ɛijk들은 다 component들이다.

이들은 계산도중 편의에 따라 그 위치를 마음대로 바꾸어도 상관이 없다.

아래와 같이 말이다.

그러나 절대로 basis의 순서를 바꿔서는 안된다.

위 식에서는 ei는 반드시 ej앞에 있어야 하는 것이다.