구배(gradient)에 대해서 알아보자.
Gradient는 공간에 대한 기울기를 말한다.
이 말이 어려운가?
공간에 대한 기울기는.... 미분했는데, 미분하는 것이 x, y, z같은 것이라는 거다.
시간인 t가 아니라.. 말이다.
아무튼 시간에 대해서 제외한 거라는 걸 빼고는...
Gradient는 그냥 '기울기'이고... 영어로는 slope이 될 것이다.
공식으로 나타내자면,
x와 y를 변수로 가지는 2변수 스칼라 함수 f (x,y)의 gradient는 아래와 같이 표현된다.
여기서 ex방향은 x방향으로의 단위벡터이며, ey방향은 y방향으로의 단위벡터이다.
즉, xy평면에서 방향을 가진 벡터이다.
주의해야 할 것은 모든 방향에 대해 다 해줘야 한다는 것이다.
여기서는 2차원이었기에 x와 y방향만 해준거고...
3차원문제 였으면 아래와 같이 해주어야 한다.
물론, 이 문제에서는 ∂f /∂z가 0이기에 결과적으로는 마지막 부분이 0이 되겠지만...
f (x,y)가 스칼라 함수가 아닐 때에는 gradient가 벡터의 형태로 주어지지 않지만...
여기서는 구배의 개념을 설명하기 위한 것이니
f (x,y)가 무엇인지는 별로 중요치 않기에...
f (x,y)가 가장 단순한 스칼라 함수의 경우에 국한시켜서 보도록 하자.
아무튼 이 벡터(gradient)는 방향을 가지고 있다.
그렇다면 이 벡터는 어느 방향을 가르키고 있는가?
이를 이해하기 위해서 우리가 고등학교 때 배웠던 일변수 함수의 경우를 살펴보도록 하자.
아래와 같은 이차함수인 y=x2함수를 살펴보자.
x= -1에서 기울기가 -2이고, x=1에서 기울기가 2인 것을 쉽게 계산할 수 있을 것이다.
여기서 기울기(gradient)의 방향이 어디를 가르키고 있는가?
일변수 함수에서는 방향이란... x가 커지거나 작아지는 방향 밖에는 없는데...
그래프에서 파란색 화살표를 보면 알 수 있듯이...
x= -1에서는 x가 작아지는 방향을 가르키고 있고, (기울기가 음수이기에...)
x=1에서는 x가 커지는 방향을 가르키고 있다. (기울기가 양수이기에...)
그렇다면 이 방향이 가르키는 방향은 바로 함수값인 y가 커지는 방향인 것이다.
즉, gradient의 방향은 함수값이 커지는 방향이다.
따라서 이것을 최대점을 찾는 데에 사용할 수 있다.
그렇다면 gradient의 반대방향은 무엇이겠는가?
최소값을 향해 가는 방향인 것이다.
그렇다면 이제 2변수의 경우를 보도록 하자.
일변수에서는 방향이 한 축의 양쪽 방향밖에 없어서...
음수인지 양수인지로 방향을 알 수 있었다.
그러나 2변수 이상부터는 스칼라 함수에 대해서 gradient가 벡터로 구해지게 된다.
(일변수의 경우 성분이 하나인 벡터로 생각할 수 있다.)
아래는 wikipedia에 있는 예인데,
f (x, y) = xe−(x2 + y2)라는 함수를 그리면 아래와 같다.
-http://en.wikipedia.org/wiki/Gradient-
그래프에서 빨간색으로 표시된 부분은 함수값이 큰 부분이고,
파란색 부분은 함수값이 작은 부분이다.
위에서 화살표가 가리키고 있는 것이 gradient의 방향인데,
함수값이 작은 부분에서 벗어나서 함수값이 큰 부분으로 가려고 하는 것을 볼 수 있을 것이다.
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