레이놀즈 수송정리에 대한 이해 (Reynolds Transport Theorem)

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이 포스팅에서는
레이놀즈 수송정리(Reynolds Transport Theorem)의 개념에 대해서 이야기를 해보도록 하자.

아마 이 부분이 유체역학을 처음 접한 사람들이 어려워하는 부분이라 생각하는데,
처음 접하는 개념이라 그렇지 사실 어렵지 않다.

이 글을 이해하기 전에,
오일러 좌표 기술방법에 대해서 쓴 이전 포스팅을 참고하길 바란다.
유체역학은 오일러 관점만 이해하면 많은 것들이 쉬워진다.

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우선, 도대체 왜 레이놀즈 수송정리가 탄생했는지를 살펴보자.
이걸 이해하면 레이놀즈 수송정리는 쉽게 이해할 수 있다.

레이놀즈 수송정리가 왜 탄생했느냐면,
특정 영역의 유체의 물리적 특성의 시간에 대한 변화율이 알고싶었기 때문이다.

예를 들어서, 이런 것이다.
특정 영역의 유체가 작용하는 힘을 계산하고 싶은데, 힘이란 운동량의 시간에 대한 변화율이지 않은가?

즉, 운동량의 변화율을 계산하기 위해 레이놀즈 수송정리를 사용하고,
이를 통해 힘을 계산하는 것이다.

물론, 레이놀즈 수송정리는 훨씬 광범위하게 사용될 수 있다.
질량의 변화율, 각 운동량의 변화율, 에너지의 변화율 등을 계산하는 데에 말이다.
그러나 모두 변화율을 계산하기 위해 사용되었다는 점에 주목하자.

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지금까지 특정 영역의 유체라는 말을 강조하여 파란색 글자로 표시했는데,
예를 들어 설명해보자.

아래의 그림에서 점선으로 표시된 영역안에 있는 유체에 우리가 관심이 있다고 해보자.

이렇게 우리가 관심있는 영역을 일반적으로 검사체적(control volumn)이라고 한다.

[Image from 'Fluid Mechanics Frank m. white']

다시 강조하지만, 우리가 검사체적을 설정하더라도
검사체적안의 유체는 계속해서 흐르고 있다는 점을 명심하자.

시간이 변함에 따라 검사체적안에 있는 유체가 달라지기 때문에,
이 검사체적안의 유체의 특성의 시간에 대한 변화율을 계산하려면 오일러 좌표기술방법을
이용해야 하는 것이다.

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검사체적안에 있는 유체들을 하나의 시스템(system)이라고 생각해보자.

시스템이라고 해서, 별다를 게 있는 것이 아니다.
여기서는 그냥 검사체적안의 유체 덩어리를 모아서 하나의 시스템이라고 부르는 것 뿐이다.

우리가 관심있는 이 유체 시스템의 어떤 물리적인 특성을 B_sys라고 해보자.

레이놀즈 수송정리는 이 B_sys의 시간에 대한 변화율을 아래의 공식으로 구할 수 있다는 걸 말한다.

위에서 β는 B_sys를 질량으로 나눠준 값이다.
즉, β = B_sys / m이며,
질량이 균일하지 않을경우에는 더 정확하게 β = dB_sys / dm로 적을 수 있다.

ρ는 유체의 밀도이고, u는 유체의 속도 벡터 n은 검사체적의 면에 수직한 단위벡터이다.

오른쪽 식에서 첫번째항은 β ρ를 검사체적에 대해 부피적분을 해주고
시간에 대해 미분하는 것을 의미하며,

두번째 항은 β ρ (u · n)를 검사체적의 면에 대해 면적분 해준 것을 의미한다.
즉, β ρ의 flux이다.

참고로, 검사체적이 정지하고 있는 것이 아니라 움직인다면
두번째 항의 u는 움직이는 검사체적에 대한 유체의 상대속도가 되어야 한다.

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정리하자면, 
레이놀즈 수송정리는 검사체적안의 유체의 B_sys의 시간에 대한 변화율을 구하려면

검사체적에서 β ρ의 시간에 대한 변화율을 구하고,
면으로 빠져나가는 β ρ의 flux를 더해주면 된다는 것을 말한다.

Flux를 더해주는 이유는 검사체적안에서 유체는 흐르기 때문이다.

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마지막으로 예를 들어 설명을 하자면,
우리가 관심이 있는 물리량이 유체가 가하는 힘이라고 해보자.

힘은 운동량의 시간에 대한 변화율이므로
B_sys를 운동량인 m u로 둔다면 레이놀즈 수송정리에 의해 힘인 F를 아래와 같이 구할 수 있다.

β 가 u라는 점을 유의하면 쉽게 이해할 수 있을 것이다.

한 가지 주의할 점은 검사체적이 움직이고 있을 경우에는
flux를 계산할 때의 속도벡터가 검사체적에 대한 상대속도인 u_r라는 점이다.

즉, 아래와 같이 두번째 항이 조금 수정되어야 한다.

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많은 학생들이 처음 유체역학을 접할 때,
이 레이놀즈 수송 정리에서 좌절하는 것으로 알고있다.

한 번 이해하고나면, 별로 어렵지 않은 개념이고
생각보다 수식도 어려운 수식이 아니므로 꼭 익혀두도록 하자.

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